Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 10 класс

Сумма $n$ чисел равна 0, сумма их модулей равна $a.$ Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше $2a/n.$

Комментарий/решение

$$\sum_{j=1}^n \alpha_j= 0 \quad \sum_{j=1}^n |\alpha_j|=a$$

$$1)a_1=...=a_n=0 \Rightarrow max_{j=\overline{1,n}}{\alpha_j }- min_{j=\overline{1,n}}{ \alpha_j }=0$$

$$2) \sum_{j=1}^n \alpha_j= 0 \Rightarrow \exists j=\overline{1,n}: \alpha_j < 0\quad (*)$$

$$min_{j=\overline{1,n}}{| \alpha_j |} < \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n |\alpha_j| < max_{j=\overline{1,n}}{| \alpha_j |}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow min_{j=\overline{1,n}}{| \alpha_j |} < \frac{a}{n} < max_{j=\overline{1,n}}{| \alpha_j |}\quad (1)$$

$$(*)\Rightarrow min_{j=\overline{1,n}}{| \alpha_j |} := - min_{j=\overline{1,n}}{ \alpha_j }$$

$$max_{j=\overline{1,n}}{| \alpha_j |}=max_{j=\overline{1,n}}{ \alpha_j }$$

$$(1)\Rightarrow max_{j=\overline{1,n}}{\alpha_j } > \frac{a}{n} > - min_{j=\overline{1,n}}{ \alpha_j }\quad (2)$$

$$(2) \Rightarrow max_{j=\overline{1,n}}{\alpha_j }- min_{j=\overline{1,n}}{ \alpha_j } > \frac{2a}{n}$$