қазақша
русский2-я Жаутыковская олимпиада (2006), теоретический тур
Задача №1. (10 баллов)
Один из концов однородного массивного стержня длины $L$ шарнирно прикреплен к вертикальной оси. Шарнир устроен так, что в системе отсчета, связанной с осью, стержень может совершать колебания в одной вертикальной плоскости. Трение в шарнире отсутствует. Ось вращается с угловой скоростью $\omega$, ускорение свободного падения — $g$ (Рис.1.1)
a) Вычислите значения угла $\alpha$, при которых этот угол не меняется со временем;
b) Проанализируйте устойчивость системы для каждого равновесного состояния.
Пусть в некоторый момент времени стержень получает небольшое отклонение от устойчивого положения равновесия в разрешенной плоскости.
c) Вычислите период этих колебаний.
комментарий/решение
Один из концов однородного массивного стержня длины $L$ шарнирно прикреплен к вертикальной оси. Шарнир устроен так, что в системе отсчета, связанной с осью, стержень может совершать колебания в одной вертикальной плоскости. Трение в шарнире отсутствует. Ось вращается с угловой скоростью $\omega$, ускорение свободного падения — $g$ (Рис.1.1)
a) Вычислите значения угла $\alpha$, при которых этот угол не меняется со временем;
b) Проанализируйте устойчивость системы для каждого равновесного состояния.
Пусть в некоторый момент времени стержень получает небольшое отклонение от устойчивого положения равновесия в разрешенной плоскости.
c) Вычислите период этих колебаний.
комментарий/решение
Задача №2. (8 баллов)
Для отопления комнаты используется горелка, при этом в комнате устанавливается температура $t_1=17$ $^{\circ}$С, в то время как на улице температура $t_0=7$ $^{\circ}$С. Для отопления комнаты предлагается использовать идеальный тепловой насос, работающий по обратному циклу Карно. КПД двигателя, совершающего работу в цикле, равен $\eta=60\%$. Считая, что теплообмен между комнатой и улицей пропорционален разности температур и двигатель потребляет то же количество топлива, что и горелка, вычислить установившуюся температуру в комнате, если:
a) двигатель расположен вне комнаты;
b) двигатель расположен внутри комнаты.
комментарий/решение
Для отопления комнаты используется горелка, при этом в комнате устанавливается температура $t_1=17$ $^{\circ}$С, в то время как на улице температура $t_0=7$ $^{\circ}$С. Для отопления комнаты предлагается использовать идеальный тепловой насос, работающий по обратному циклу Карно. КПД двигателя, совершающего работу в цикле, равен $\eta=60\%$. Считая, что теплообмен между комнатой и улицей пропорционален разности температур и двигатель потребляет то же количество топлива, что и горелка, вычислить установившуюся температуру в комнате, если:
a) двигатель расположен вне комнаты;
b) двигатель расположен внутри комнаты.
комментарий/решение
Задача №3. (12 баллов)
Имеется кольцо радиуса $R$, по которому течет ток $I$.
а) Вычислите магнитное поле в точке $O_1$ на оси кольца. Кольцо видно из точки $O_1$ под углом $2\alpha$. (См.Рис.3.1)
Соленоид с радиусом $R$ состоит из $N$ витков, равномерно намотанных на длине $l$. По соленоиду течет ток $I$.
b) Найдите индукцию магнитного поля на оси соленоида в точке, из которой диаметры торцов видны под углами $2\alpha$ и $2\beta$. (см. Рис.3.2)
В дальнейшем полагаем, что $l>>R$.
с) Вычислите поле $B_0$ внутри соленоида на его оси вдали от торцов;
d) Найдите расстояние $x$, при котором $B=0,1\cdot B_0$ (см. Рис.3.3);
e) Вычислите индуктивность катушки $L$, считая поле внутри катушки вдали от торцов однородным по всему сечению.
Намагниченная пуля пролетает вдоль оси соленоида, подключенного к конденсатору $C$. Магнитный момент пули $M$ параллелен оси соленоида. Будем пренебрегать изменением скорости пули в процессе пролета.
f) Напишите условие того, что время пролета пулей области неоднородности магнитного поля значительно меньше периода колебаний в $LC$ контуре. Считайте в дальнейшем, что это условие всегда выполнено;
g) При какой скорости пули амплитуда колебаний тока в контуре после пролета пули максимальна?
h) Чему при этом равна амплитуда тока $I_{\max}$? Нарисуйте график зависимости $I(t)$ для этого случая.
i) Докажите, что сила, действующая на пулю со стороны магнитного поля, равна $M\frac{
tial B}{
tial x}$ и направлена вдоль оси.
Примечания: Пулю можно рассматривать как кольцо малой площади $S_0$, по которому течет ток $I_0$, причем $M=S_0I_0$.
В теории магнетизма доказывается следующая теорема взаимности: Если поток магнитного поля первого контура через второй обозначить $L_{12}I_1$, а поток поля второго контура через первый обозначить $L_{21}I_2$, то $L_{12}=L_{21}$. При этом предполагается, что знаки потоков согласованы с положительными направлениями обхода контуров.
комментарий/решение
Имеется кольцо радиуса $R$, по которому течет ток $I$.
а) Вычислите магнитное поле в точке $O_1$ на оси кольца. Кольцо видно из точки $O_1$ под углом $2\alpha$. (См.Рис.3.1)
Соленоид с радиусом $R$ состоит из $N$ витков, равномерно намотанных на длине $l$. По соленоиду течет ток $I$.
b) Найдите индукцию магнитного поля на оси соленоида в точке, из которой диаметры торцов видны под углами $2\alpha$ и $2\beta$. (см. Рис.3.2)
В дальнейшем полагаем, что $l>>R$.
с) Вычислите поле $B_0$ внутри соленоида на его оси вдали от торцов;
d) Найдите расстояние $x$, при котором $B=0,1\cdot B_0$ (см. Рис.3.3);
e) Вычислите индуктивность катушки $L$, считая поле внутри катушки вдали от торцов однородным по всему сечению.
Намагниченная пуля пролетает вдоль оси соленоида, подключенного к конденсатору $C$. Магнитный момент пули $M$ параллелен оси соленоида. Будем пренебрегать изменением скорости пули в процессе пролета.
f) Напишите условие того, что время пролета пулей области неоднородности магнитного поля значительно меньше периода колебаний в $LC$ контуре. Считайте в дальнейшем, что это условие всегда выполнено;
g) При какой скорости пули амплитуда колебаний тока в контуре после пролета пули максимальна?
h) Чему при этом равна амплитуда тока $I_{\max}$? Нарисуйте график зависимости $I(t)$ для этого случая.
i) Докажите, что сила, действующая на пулю со стороны магнитного поля, равна $M\frac{
tial B}{
tial x}$ и направлена вдоль оси.
Примечания: Пулю можно рассматривать как кольцо малой площади $S_0$, по которому течет ток $I_0$, причем $M=S_0I_0$.
В теории магнетизма доказывается следующая теорема взаимности: Если поток магнитного поля первого контура через второй обозначить $L_{12}I_1$, а поток поля второго контура через первый обозначить $L_{21}I_2$, то $L_{12}=L_{21}$. При этом предполагается, что знаки потоков согласованы с положительными направлениями обхода контуров.
комментарий/решение