2-я Жаутыковская олимпиада (2006), теоретический тур

Есеп №1. (10 баллов)
Один из концов однородного массивного стержня длины

$L$ шарнирно прикреплен к вертикальной оси. Шарнир устроен так, что в системе отсчета, связанной с осью, стержень может совершать колебания в одной вертикальной плоскости. Трение в шарнире отсутствует. Ось вращается с угловой скоростью

$\omega$ , ускорение свободного падения —

$g$ (Рис.1.1)
a) Вычислите значения угла

$\alpha$ , при которых этот угол не меняется со временем;
b) Проанализируйте устойчивость системы для каждого равновесного состояния.
Пусть в некоторый момент времени стержень получает небольшое отклонение от устойчивого положения равновесия в разрешенной плоскости.
c) Вычислите период этих колебаний.

комментарий/решение

Есеп №2. (8 баллов)
Для отопления комнаты используется горелка, при этом в комнате устанавливается температура

$t_1=17$

$^{\circ}$ С, в то время как на улице температура

$t_0=7$

$^{\circ}$ С. Для отопления комнаты предлагается использовать идеальный тепловой насос, работающий по обратному циклу Карно. КПД двигателя, совершающего работу в цикле, равен

$\eta=60\%$ . Считая, что теплообмен между комнатой и улицей пропорционален разности температур и двигатель потребляет то же количество топлива, что и горелка, вычислить установившуюся температуру в комнате, если:
a) двигатель расположен вне комнаты;
b) двигатель расположен внутри комнаты.
комментарий/решение

Есеп №3. (12 баллов)
Имеется кольцо радиуса

$R$ , по которому течет ток

$I$ .
а) Вычислите магнитное поле в точке

$O_1$ на оси кольца. Кольцо видно из точки

$O_1$ под углом

$2\alpha$ . (См.Рис.3.1)

Соленоид с радиусом

$R$ состоит из

$N$ витков, равномерно намотанных на длине

$l$ . По соленоиду течет ток

$I$ .
b) Найдите индукцию магнитного поля на оси соленоида в точке, из которой диаметры торцов видны под углами

$2\alpha$ и

$2\beta$ . (см. Рис.3.2)

В дальнейшем полагаем, что

$l>>R$ .
с) Вычислите поле

$B_0$ внутри соленоида на его оси вдали от торцов;
d) Найдите расстояние

$x$ , при котором

$B=0,1\cdot B_0$ (см. Рис.3.3);

e) Вычислите индуктивность катушки

$L$ , считая поле внутри катушки вдали от торцов однородным по всему сечению.
Намагниченная пуля пролетает вдоль оси соленоида, подключенного к конденсатору

$C$ . Магнитный момент пули

$M$ параллелен оси соленоида. Будем пренебрегать изменением скорости пули в процессе пролета.
f) Напишите условие того, что время пролета пулей области неоднородности магнитного поля значительно меньше периода колебаний в

$LC$ контуре. Считайте в дальнейшем, что это условие всегда выполнено;
g) При какой скорости пули амплитуда колебаний тока в контуре после пролета пули максимальна?
h) Чему при этом равна амплитуда тока

$I_{\max}$ ? Нарисуйте график зависимости

$I(t)$ для этого случая.
i) Докажите, что сила, действующая на пулю со стороны магнитного поля, равна

$M\frac{ tial B}{ tial x}$ и направлена вдоль оси.
Примечания: Пулю можно рассматривать как кольцо малой площади

$S_0$ , по которому течет ток

$I_0$ , причем

$M=S_0I_0$ .
В теории магнетизма доказывается следующая теорема взаимности: Если поток магнитного поля первого контура через второй обозначить

$L_{12}I_1$ , а поток поля второго контура через первый обозначить

$L_{21}I_2$ , то

$L_{12}=L_{21}$ . При этом предполагается, что знаки потоков согласованы с положительными направлениями обхода контуров.
комментарий/решение