қазақша
русский2-я Жаутыковская олимпиада (2006), теоретический тур
Есеп №1. (10 баллов)
Один из концов однородного массивного стержня длины L шарнирно прикреплен к вертикальной оси. Шарнир устроен так, что в системе отсчета, связанной с осью, стержень может совершать колебания в одной вертикальной плоскости. Трение в шарнире отсутствует. Ось вращается с угловой скоростью ω, ускорение свободного падения — g (Рис.1.1)
a) Вычислите значения угла α, при которых этот угол не меняется со временем;
b) Проанализируйте устойчивость системы для каждого равновесного состояния.
Пусть в некоторый момент времени стержень получает небольшое отклонение от устойчивого положения равновесия в разрешенной плоскости.
c) Вычислите период этих колебаний.
комментарий/решение
Один из концов однородного массивного стержня длины L шарнирно прикреплен к вертикальной оси. Шарнир устроен так, что в системе отсчета, связанной с осью, стержень может совершать колебания в одной вертикальной плоскости. Трение в шарнире отсутствует. Ось вращается с угловой скоростью ω, ускорение свободного падения — g (Рис.1.1)
a) Вычислите значения угла α, при которых этот угол не меняется со временем;
b) Проанализируйте устойчивость системы для каждого равновесного состояния.
Пусть в некоторый момент времени стержень получает небольшое отклонение от устойчивого положения равновесия в разрешенной плоскости.
c) Вычислите период этих колебаний.
комментарий/решение
Есеп №2. (8 баллов)
Для отопления комнаты используется горелка, при этом в комнате устанавливается температура t1=17 ∘С, в то время как на улице температура t0=7 ∘С. Для отопления комнаты предлагается использовать идеальный тепловой насос, работающий по обратному циклу Карно. КПД двигателя, совершающего работу в цикле, равен η=60%. Считая, что теплообмен между комнатой и улицей пропорционален разности температур и двигатель потребляет то же количество топлива, что и горелка, вычислить установившуюся температуру в комнате, если:
a) двигатель расположен вне комнаты;
b) двигатель расположен внутри комнаты.
комментарий/решение
Для отопления комнаты используется горелка, при этом в комнате устанавливается температура t1=17 ∘С, в то время как на улице температура t0=7 ∘С. Для отопления комнаты предлагается использовать идеальный тепловой насос, работающий по обратному циклу Карно. КПД двигателя, совершающего работу в цикле, равен η=60%. Считая, что теплообмен между комнатой и улицей пропорционален разности температур и двигатель потребляет то же количество топлива, что и горелка, вычислить установившуюся температуру в комнате, если:
a) двигатель расположен вне комнаты;
b) двигатель расположен внутри комнаты.
комментарий/решение
Есеп №3. (12 баллов)
Имеется кольцо радиуса R, по которому течет ток I.
а) Вычислите магнитное поле в точке O1 на оси кольца. Кольцо видно из точки O1 под углом 2α. (См.Рис.3.1)
Соленоид с радиусом R состоит из N витков, равномерно намотанных на длине l. По соленоиду течет ток I.
b) Найдите индукцию магнитного поля на оси соленоида в точке, из которой диаметры торцов видны под углами 2α и 2β. (см. Рис.3.2)
В дальнейшем полагаем, что l>>R.
с) Вычислите поле B0 внутри соленоида на его оси вдали от торцов;
d) Найдите расстояние x, при котором B=0,1⋅B0 (см. Рис.3.3);
e) Вычислите индуктивность катушки L, считая поле внутри катушки вдали от торцов однородным по всему сечению.
Намагниченная пуля пролетает вдоль оси соленоида, подключенного к конденсатору C. Магнитный момент пули M параллелен оси соленоида. Будем пренебрегать изменением скорости пули в процессе пролета.
f) Напишите условие того, что время пролета пулей области неоднородности магнитного поля значительно меньше периода колебаний в LC контуре. Считайте в дальнейшем, что это условие всегда выполнено;
g) При какой скорости пули амплитуда колебаний тока в контуре после пролета пули максимальна?
h) Чему при этом равна амплитуда тока Imax? Нарисуйте график зависимости I(t) для этого случая.
i) Докажите, что сила, действующая на пулю со стороны магнитного поля, равна M\frac{ tial B}{ tial x} и направлена вдоль оси.
Примечания: Пулю можно рассматривать как кольцо малой площади S_0, по которому течет ток I_0, причем M=S_0I_0.
В теории магнетизма доказывается следующая теорема взаимности: Если поток магнитного поля первого контура через второй обозначить L_{12}I_1, а поток поля второго контура через первый обозначить L_{21}I_2, то L_{12}=L_{21}. При этом предполагается, что знаки потоков согласованы с положительными направлениями обхода контуров.
комментарий/решение
Имеется кольцо радиуса R, по которому течет ток I.
а) Вычислите магнитное поле в точке O1 на оси кольца. Кольцо видно из точки O1 под углом 2α. (См.Рис.3.1)
Соленоид с радиусом R состоит из N витков, равномерно намотанных на длине l. По соленоиду течет ток I.
b) Найдите индукцию магнитного поля на оси соленоида в точке, из которой диаметры торцов видны под углами 2α и 2β. (см. Рис.3.2)
В дальнейшем полагаем, что l>>R.
с) Вычислите поле B0 внутри соленоида на его оси вдали от торцов;
d) Найдите расстояние x, при котором B=0,1⋅B0 (см. Рис.3.3);
e) Вычислите индуктивность катушки L, считая поле внутри катушки вдали от торцов однородным по всему сечению.
Намагниченная пуля пролетает вдоль оси соленоида, подключенного к конденсатору C. Магнитный момент пули M параллелен оси соленоида. Будем пренебрегать изменением скорости пули в процессе пролета.
f) Напишите условие того, что время пролета пулей области неоднородности магнитного поля значительно меньше периода колебаний в LC контуре. Считайте в дальнейшем, что это условие всегда выполнено;
g) При какой скорости пули амплитуда колебаний тока в контуре после пролета пули максимальна?
h) Чему при этом равна амплитуда тока Imax? Нарисуйте график зависимости I(t) для этого случая.
i) Докажите, что сила, действующая на пулю со стороны магнитного поля, равна M\frac{ tial B}{ tial x} и направлена вдоль оси.
Примечания: Пулю можно рассматривать как кольцо малой площади S_0, по которому течет ток I_0, причем M=S_0I_0.
В теории магнетизма доказывается следующая теорема взаимности: Если поток магнитного поля первого контура через второй обозначить L_{12}I_1, а поток поля второго контура через первый обозначить L_{21}I_2, то L_{12}=L_{21}. При этом предполагается, что знаки потоков согласованы с положительными направлениями обхода контуров.
комментарий/решение