Математикадан аудандық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. $\dfrac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{2}}-7x+12}$ дұрыс емес бөлшегін көпмүше мен қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жазыңыз. (Қарапайым бөлшек деп $\dfrac{A}{(x-a)^n}$ немесе $\dfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}$ түріндегі бөлшекті айтамыз. $A$, $B$, $a$, $p$, $q$ — нақты сандар, $p^2-4q < 0$, $x$ — айнымалы.)
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Екі ұшы қабырғасы 1 болатын квадраттың қабырғаларында жататын $c$ кесінді ортасының геометриялық нүктелер жиынын табыңыз.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №3. ${{a}^{2}}$, ${{b}^{2}}$, ${{c}^{2}}$ сандары арифметикалық прогрессия құрайды; $a,b,c,a+b,b+c,a+c$ нөлге тең емес. $\dfrac{1}{b+c}$, $\dfrac{1}{a+c}$, $\dfrac{1}{a+b}$ сандары да арифметикалық прогресиия құрайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. Жазықтықта 400 нүкте берілген. Кез-келген екеуінің ара қашықтықтарының ішінде әр түрлі бір-бірінен өзгеше кемінде 15 сан бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---