Математикадан аудандық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$\dfrac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{2}}-7x+12}$ дұрыс емес бөлшегін көпмүше мен қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жазыңыз. (Қарапайым бөлшек деп

$\dfrac{A}{(x-a)^n}$ немесе

$\dfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}$ түріндегі бөлшекті айтамыз.

$A$ ,

$B$ ,

$a$ ,

$p$ ,

$q$ — нақты сандар,

$p^2-4q < 0$ ,

$x$ — айнымалы.)
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Екі ұшы қабырғасы 1 болатын квадраттың қабырғаларында жататын

$c$ кесінді ортасының геометриялық нүктелер жиынын табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

${{a}^{2}}$ ,

${{b}^{2}}$ ,

${{c}^{2}}$ сандары арифметикалық прогрессия құрайды;

$a,b,c,a+b,b+c,a+c$ нөлге тең емес.

$\dfrac{1}{b+c}$ ,

$\dfrac{1}{a+c}$ ,

$\dfrac{1}{a+b}$ сандары да арифметикалық прогресиия құрайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Жазықтықта 400 нүкте берілген. Кез-келген екеуінің ара қашықтықтарының ішінде әр түрлі бір-бірінен өзгеше кемінде 15 сан бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)