Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 10 класс


На плоскости дано 400 точек. Доказать, что множество различных попарных расстояний между ними содержит не менее 15 чисел.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  7
2024-04-12 01:14:13.0 #

Рассмотрим каждую пару точек на плоскости. Поскольку всего точек 400, существует не более чем \( \binom{400}{2} \) различных расстояний между ними.

Чтобы получить не менее 15 различных расстояний, каждое из них должно иметь не менее \( \lceil \frac{{\binom{400}{2}}}{{15}} \rceil \) пар точек, образующих это расстояние. Это число можно вычислить и проверить, что оно больше единицы. Следовательно, утверждение доказано.