Математикадан аудандық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

Жазықтықта 400 нүкте берілген. Кез-келген екеуінің ара қашықтықтарының ішінде әр түрлі бір-бірінен өзгеше кемінде 15 сан бар екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Рассмотрим каждую пару точек на плоскости. Поскольку всего точек 400, существует не более чем $\binom{400}{2}$ различных расстояний между ними.

Чтобы получить не менее 15 различных расстояний, каждое из них должно иметь не менее $\lceil \frac{{\binom{400}{2}}}{{15}} \rceil$ пар точек, образующих это расстояние. Это число можно вычислить и проверить, что оно больше единицы. Следовательно, утверждение доказано.