Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 10 класс

На плоскости дано 400 точек. Доказать, что множество различных попарных расстояний между ними содержит не менее 15 чисел.

Комментарий/решение

Рассмотрим каждую пару точек на плоскости. Поскольку всего точек 400, существует не более чем $\binom{400}{2}$ различных расстояний между ними.

Чтобы получить не менее 15 различных расстояний, каждое из них должно иметь не менее $\lceil \frac{{\binom{400}{2}}}{{15}} \rceil$ пар точек, образующих это расстояние. Это число можно вычислить и проверить, что оно больше единицы. Следовательно, утверждение доказано.