Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Представить неправильную дробь

$\dfrac{x^3+x+2}{x^2-7x+12}$ в виде суммы многочлена и простейших дробей.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найти геометрическое место середин отрезков длины

$c$ , концы которых лежат на сторонах квадрата со стороной 1.
комментарий/решение(3)

Задача №3. Числа

$a^2$ ,

$b^2$ ,

$c^2$ образуют арифметическую прогрессию;

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$a+b$ ,

$b+c$ ,

$a+c$ отличны от нуля. Доказать, что числа

$\dfrac{1}{b+c}$ ,

$\dfrac{1}{a+c}$ ,

$\dfrac{1}{a+b}$ также образуют арифметическую прогрессию.
комментарий/решение(2)

Задача №4. На плоскости дано 400 точек. Доказать, что множество различных попарных расстояний между ними содержит не менее 15 чисел.
комментарий/решение(1)