қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Представить неправильную дробь $\dfrac{x^3+x+2}{x^2-7x+12}$ в виде суммы многочлена и простейших дробей.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найти геометрическое место середин отрезков длины $c$, концы которых лежат на сторонах квадрата со стороной 1.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ образуют арифметическую прогрессию;
$a$, $b$, $c$, $a+b$, $b+c$, $a+c$ отличны от нуля.
Доказать, что числа $\dfrac{1}{b+c}$, $\dfrac{1}{a+c}$, $\dfrac{1}{a+b}$ также образуют арифметическую прогрессию.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. На плоскости дано 400 точек. Доказать, что множество различных попарных расстояний между ними содержит не менее 15 чисел.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)