Processing math: 80%

Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 10 класс


Найти геометрическое место середин отрезков длины c, концы которых лежат на сторонах квадрата со стороной 1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
2 года 6 месяца назад #

1)Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат (ПДСК) с центром в точке O(0;0)

2)Построим в первом квадранте квадрат OBCD со стороной 1. Координаты вершин: O(0;0);B(0;1);C(1;1);D(1;0)

3)Вообще, смысл имеют значения 0<c2. При c=2 возможно всего 2 положения отрезка длины c- по диагоналям квадрата, откуда в этом частном случае ГМТ точек – точка (0.5;0.5). При c>2 отрезок не сможет лежать сразу на двух сторонах внутри квадрата.

4)Рассмотрим случай 0<c1. Поставим на стороне OD произвольную точку M(x;0)

Пусть отрезок MN имеет длину |MN|=c. Тогда координата точки N вычислим с помощью теоремы Пифагора

ON2+OM2=c2YN=c2OM2=c2x2

5)Пусть середина отрезка MN точка F, тогда ее координаты

F(XM+XN2;YM+YN2)=(x2;c2x22)

6)Но ведь утверждение (5) буквально описывает некоторую окружность. Проверим это.

X2F+Y2F=R2

x24+c2x24c24xR=c/2

Циклической перестановкой вершин (например OB;BC;CD;DO) можно показать аналогичные уравнения кривой для каждой вершины. То есть, если 0<c1, то искомое ГМТ- это четверть окружности радиусом c/2, лежащая внутри квадрата, с центром в каждой из вершин.

7)Теперь рассмотрим 1<c<2. В данной ситуации отличие будет заключаться в том, что концы отрезка MN будут лежать на противоположных сторонах квадрата, а не на сторонах, составляющих угол 90. Поставим на стороне OD произвольную точку M(x;0).У точки N игрековая компонента уже известна - это YN=1. По теореме Пифагора найдем XN

(XNXM)2+(YNYM)2=c2(XNx)2+(10)2=c2

XN=x±c212

8)Как и в (5), отыщем середину получившегося отрезка

F(XM+XN2;YM+YN2)=(2x±c212;12)

Получается, что точки F лежат по прямой, на высоте YF=1/2. Остается выяснить крайние координаты полученного ГМТ (отрезка)

9) А для этого рассмотрим два крайних случая: N=B и N=C

ifN=B:x=c2a2xmin

if \;\;N=C:\;x=1\Rightarrow x_{\max}=\dfrac{2\cdot 1-\sqrt{c^2-1}}{2}

10)Циклической перестановкой вершин (например O\rightarrow B;B\rightarrow C;C\rightarrow D;D\rightarrow O) можно показать аналогичные уравнения кривой для каждой стороны. То есть, если 1<c<\sqrt 2, то искомое ГМТ- это два взаимно перпендикулярных отрезка длиной L=1-\sqrt{c^2-1} каждый, причем пересекаются эти отрезки посередине друг друга, а точка пересечения совпадает с точкой пересечения диагоналей + четвертинки окружности из случая 0<c<1.

11) Асимптотическая проверка: при длине отрезка |MN|=\sqrt 2

L=1-\sqrt{(\sqrt 2)^2-1}=0

То есть, как и ожидалось, отрезки выродились в точку

  1
2 года 6 месяца назад #

Хорош, мне бы было бы лень это всё чертить и объяснять

  1
2 года 6 месяца назад #

а еще есть устройство, движение звеньев которого похоже на то, что мы ищем в задаче - эллипсограф. При выборе точки посередине двух ползунов (A и B), траектория точки вырождается из эллипса в окружность