Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 10 класс
Комментарий/решение:
1)Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат (ПДСК) с центром в точке O(0;0)
2)Построим в первом квадранте квадрат OBCD со стороной 1. Координаты вершин: O(0;0);B(0;1);C(1;1);D(1;0)
3)Вообще, смысл имеют значения 0<c≤√2. При c=√2 возможно всего 2 положения отрезка длины c- по диагоналям квадрата, откуда в этом частном случае ГМТ точек – точка (0.5;0.5). При c>√2 отрезок не сможет лежать сразу на двух сторонах внутри квадрата.
4)Рассмотрим случай 0<c≤1. Поставим на стороне OD произвольную точку M(x;0)
Пусть отрезок MN имеет длину |MN|=c. Тогда координата точки N вычислим с помощью теоремы Пифагора
ON2+OM2=c2⇒YN=√c2−OM2=√c2−x2
5)Пусть середина отрезка MN− точка F, тогда ее координаты
F(XM+XN2;YM+YN2)=(x2;√c2−x22)
6)Но ведь утверждение (5) буквально описывает некоторую окружность. Проверим это.
X2F+Y2F=R2
x24+c2−x24≡c24∀x⇒R=c/2
Циклической перестановкой вершин (например O→B;B→C;C→D;D→O) можно показать аналогичные уравнения кривой для каждой вершины. То есть, если 0<c≤1, то искомое ГМТ- это четверть окружности радиусом c/2, лежащая внутри квадрата, с центром в каждой из вершин.
7)Теперь рассмотрим 1<c<√2. В данной ситуации отличие будет заключаться в том, что концы отрезка MN будут лежать на противоположных сторонах квадрата, а не на сторонах, составляющих угол 90∘. Поставим на стороне OD произвольную точку M(x;0).У точки N игрековая компонента уже известна - это YN=1. По теореме Пифагора найдем XN
(XN−XM)2+(YN−YM)2=c2⇒(XN−x)2+(1−0)2=c2
XN=x±√c2−12
8)Как и в (5), отыщем середину получившегося отрезка
F(XM+XN2;YM+YN2)=(2⋅x±√c2−12;12)
Получается, что точки F лежат по прямой, на высоте YF=1/2. Остается выяснить крайние координаты полученного ГМТ (отрезка)
9) А для этого рассмотрим два крайних случая: N=B и N=C
ifN=B:x=√c2−a2⇒xmin
if \;\;N=C:\;x=1\Rightarrow x_{\max}=\dfrac{2\cdot 1-\sqrt{c^2-1}}{2}
10)Циклической перестановкой вершин (например O\rightarrow B;B\rightarrow C;C\rightarrow D;D\rightarrow O) можно показать аналогичные уравнения кривой для каждой стороны. То есть, если 1<c<\sqrt 2, то искомое ГМТ- это два взаимно перпендикулярных отрезка длиной L=1-\sqrt{c^2-1} каждый, причем пересекаются эти отрезки посередине друг друга, а точка пересечения совпадает с точкой пересечения диагоналей + четвертинки окружности из случая 0<c<1.
11) Асимптотическая проверка: при длине отрезка |MN|=\sqrt 2
L=1-\sqrt{(\sqrt 2)^2-1}=0
То есть, как и ожидалось, отрезки выродились в точку
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.