Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №2. Келесі шартты қанағаттандыратын коэффициенттері бүтін барлық P(x) көпмшелігін сипаттаңыздар: әрбір оң бүтін n саны үшін 2n−1 саны P(n)-ға бөлінеді.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Радиусы 2-ге тең сфераға іштей сызылған тетраэдрдің бес қырының ұзындығы 3-ке тең. Тераэдрдің алтыншы қырының ұзындығын тап.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Барлық x,y∈R+ үшін f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy) теңдігін қанағаттандыратын барлық f:R+→R+ функциясын табыңдар, мұнда R+ оң нақты сандар жиынын белгілейді.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №5. Кез келген оң нақты a,b және и c сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:
(ab+c+12)(bc+a+12)(ca+b+12)≥1.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Үшбұрыштың ішінен алынған, радиустары тең ω1,ω2,ω3 шеңберлерінің әрқайсысы үшбұрыштың екі қабырғасын жанайды, ал ω шеңбері осы шеңберлердің әрқайсысын сырттай жанайды. Онда ω шеңберінің центрі үшбұрыштың іштей және сырттай сызылған шеңберлерінің центрлері арқылы өтетін түзудің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Әрбір a,b∈S үшін ЕҮОБ(a,b)=|a−b| болатындай әртүрлі 2004 оң бүтін саннан тұратын S жиынын табуға бола ма?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №8. Бірлік шеңберге іштей сызылған дұрыс 2004-бұрыш берілген. Төбелері осы көпбұрыштың төбелерімен сәйкес, ал қабырғалары мен диагоналдарының ұзындығы 2-ден өзгеше барлық төртбұрыштардың Q жиынын қарастырайық. Енді R арқылы Q-дың шеңбердің центрі ішінде жататын төртбұрыштардан тұратын ішкі жиынын белгілейік. Олай болса, R-дің элементтерінің саны Q-дың элементтерінің санының дәл жартысына тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение
комментарий/решение