Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Санның бүтін бөлігін табыңыз: $\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{2003}+\sqrt{2004}}$.
комментарий/решение(14)

Есеп №2. Келесі шартты қанағаттандыратын коэффициенттері бүтін барлық $P(x)$ көпмшелігін сипаттаңыздар: әрбір оң бүтін $n$ саны үшін ${{2}^{n}}-1$ саны $P(n)$-ға бөлінеді.
комментарий/решение

Есеп №3. Радиусы 2-ге тең сфераға іштей сызылған тетраэдрдің бес қырының ұзындығы 3-ке тең. Тераэдрдің алтыншы қырының ұзындығын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Барлық $x,y\in {{R}^{+}}$ үшін $f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f:{{\mathbb{R} }^{+}}\to {{\mathbb{R} }^{+}}$ функциясын табыңдар, мұнда ${{\mathbb{R} }^{+}}$ оң нақты сандар жиынын белгілейді.
комментарий/решение(5)

Есеп №5. Кез келген оң нақты $a,b$ және и $c$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер: $\left( \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{2} \right)\left( \dfrac{b}{c+a}+\dfrac{1}{2} \right)\left( \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{1}{2} \right)\ge 1$.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Үшбұрыштың ішінен алынған, радиустары тең ${{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}}$ шеңберлерінің әрқайсысы үшбұрыштың екі қабырғасын жанайды, ал $\omega $ шеңбері осы шеңберлердің әрқайсысын сырттай жанайды. Онда $\omega $ шеңберінің центрі үшбұрыштың іштей және сырттай сызылған шеңберлерінің центрлері арқылы өтетін түзудің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №7. Әрбір $a,b\in S$ үшін ЕҮОБ$(a,b)={|a-b|}$ болатындай әртүрлі 2004 оң бүтін саннан тұратын $S$ жиынын табуға бола ма?
комментарий/решение(3)

Есеп №8. Бірлік шеңберге іштей сызылған дұрыс 2004-бұрыш берілген. Төбелері осы көпбұрыштың төбелерімен сәйкес, ал қабырғалары мен диагоналдарының ұзындығы 2-ден өзгеше барлық төртбұрыштардың $Q$ жиынын қарастырайық. Енді $R$ арқылы $Q$-дың шеңбердің центрі ішінде жататын төртбұрыштардан тұратын ішкі жиынын белгілейік. Олай болса, $R$-дің элементтерінің саны $Q$-дың элементтерінің санының дәл жартысына тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение