Областная олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс

Длина пяти ребер тетраэдра, вписанного в сферу радиуса 2, равна 3. Найдите длину шестого ребра тетраэдра.

Комментарий/решение

Ответ :$\dfrac{3\sqrt 3}{2}$

Решение. Пусть $ABCD$- тетраэдр с вершиной $D$ и $AC=AB=AD=CD=BD$.В таком случае грани $ACD, ABD$ представляет собой два равные равносторонние треугольника, а грани $BDC, ABC$- равнобедренные. Ясно, что центр описаной сферы находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных из центров описанных окружностей граней. Сделаем сечение $EBC$ , где $E-$ середина $AD$, $F-$ середина $BC$, $O_1,O_2$- центра описанных окружностей граней $ABC$ и $ABD$. Тогда $EB=EC=\dfrac {3\sqrt 3}{2}$. $EO_1=\dfrac {\sqrt 3}{2}$. Длина перпендикуляра, восстановленного из $O_1$, равна $\sqrt {R^2-EO_1^2}=1$, откуда $sin \angle BEF =\dfrac {1}{2}$, откуда ясно, что угол равен 30 градусов. А угол $BEC$ равен 60 градусов, из чего следует, что $\triangle BEC$-равносторонний и $EB=EC=BC=\dfrac {3\sqrt 3}{2}$