Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып


Радиусы 2-ге тең сфераға іштей сызылған тетраэдрдің бес қырының ұзындығы 3-ке тең. Тераэдрдің алтыншы қырының ұзындығын тап.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
8 года 8 месяца назад #

Ответ :332

Решение. Пусть ABCD- тетраэдр с вершиной D и AC=AB=AD=CD=BD.В таком случае грани ACD,ABD представляет собой два равные равносторонние треугольника, а грани BDC,ABC- равнобедренные. Ясно, что центр описаной сферы находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных из центров описанных окружностей граней. Сделаем сечение EBC , где E середина AD, F середина BC, O1,O2- центра описанных окружностей граней ABC и ABD. Тогда EB=EC=332. EO1=32. Длина перпендикуляра, восстановленного из O1, равна R2EO21=1, откуда sinBEF=12, откуда ясно, что угол равен 30 градусов. А угол BEC равен 60 градусов, из чего следует, что BEC-равносторонний и EB=EC=BC=332