Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып

Радиусы 2-ге тең сфераға іштей сызылған тетраэдрдің бес қырының ұзындығы 3-ке тең. Тераэдрдің алтыншы қырының ұзындығын тап.

Комментарий/решение

Ответ :$\dfrac{3\sqrt 3}{2}$

Решение. Пусть $ABCD $- тетраэдр с вершиной $D $ и $AC=AB=AD=CD=BD $.В таком случае грани $ACD, ABD $ представляет собой два равные равносторонние треугольника, а грани $BDC, ABC $- равнобедренные. Ясно, что центр описаной сферы находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных из центров описанных окружностей граней. Сделаем сечение $EBC $ , где $E-$ середина $AD$, $F-$ середина $BC $, $O_1,O_2$- центра описанных окружностей граней $ ABC $ и $ABD$. Тогда $EB=EC=\dfrac {3\sqrt 3}{2} $. $EO_1=\dfrac {\sqrt 3}{2} $. Длина перпендикуляра, восстановленного из $O_1$, равна $\sqrt {R^2-EO_1^2}=1$, откуда $sin \angle BEF =\dfrac {1}{2}$, откуда ясно, что угол равен 30 градусов. А угол $BEC $ равен 60 градусов, из чего следует, что $\triangle BEC $-равносторонний и $EB=EC=BC=\dfrac {3\sqrt 3}{2} $