Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып
Радиусы 2-ге тең сфераға іштей сызылған тетраэдрдің бес қырының ұзындығы 3-ке тең. Тераэдрдің алтыншы қырының ұзындығын тап.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ :3√32
Решение. Пусть ABCD- тетраэдр с вершиной D и AC=AB=AD=CD=BD.В таком случае грани ACD,ABD представляет собой два равные равносторонние треугольника, а грани BDC,ABC- равнобедренные. Ясно, что центр описаной сферы находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных из центров описанных окружностей граней. Сделаем сечение EBC , где E− середина AD, F− середина BC, O1,O2- центра описанных окружностей граней ABC и ABD. Тогда EB=EC=3√32. EO1=√32. Длина перпендикуляра, восстановленного из O1, равна √R2−EO21=1, откуда sin∠BEF=12, откуда ясно, что угол равен 30 градусов. А угол BEC равен 60 градусов, из чего следует, что △BEC-равносторонний и EB=EC=BC=3√32
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.