Областная олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Рассмотрим последовательность слагаемых в этой сумме. Друг от друга они отличаются на приблизительно одинаковые числа, поэтому это почти арифметическая последовательность. А из этого следует, чтобы приблизительно узнать сумму ее, сложим первое и последнее слагаемые, поделим эту сумму напополам, умножим на количество слагаемых. Получается (1√1+√2+1√2003+√2004)×0.5×1002=213,1175 ,из чего следует, что целая часть этого выражения 213
Оценка вниз
A=1√1+√2+1√3+√4+…+1√2003+√2004
B=1√2+√3+1√4+√5+…+1√2004+√2005
A+B=√2005−√1
A=A−B2+A+B2>√2005−√12+12(1√1+√2+1√3+√4−1√2+√3−1√4+√5) так как разность остальных членов больше 0
A>√2005−√12+12(2√2+2√4−2√3−√1−√5)
Осталось показать, что √2005−√12+12(2√2+2√4−2√3−√1−√5)>21⟺√2005−1+2√2+4−2√3−1−√5>42⟺√2005+2√2>40+2√3⟺2005+4√4010+8>1600+160√3+12⟺401>160√3−4√4010⟺160801>76800−1280√12030+64160⟺
19841>−1280√12030
Оценка вверх
A−B=1√1+√2−(1√2+√3−1√3+√4)−…−(1√2002+√2003−1√2003+√2004)−1√2004+√2005<1√1+√2<1
A=A−B2+A+B2<√2005−√12+√12=√20052<√20252<452<23
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.