қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2012, 9 класс, теоретический тур
Задача №1. Катастрофы (8 баллов)
Часть А. Цунами (3 балла)
Человек, находящийся на суше, замечает цунами, которое приближается к нему со скоростью ϑ=25 км/ч и имеет ширину L=100 м. Человек находится прямо напротив середины фронта цунами на расстоянии l=50 м от него. Чтобы спастись, он начинает бежать с некоторой постоянной скоростью в неизменном направлении.
1. С какой минимальной скоростью ϑmin должен бежать человек, чтобы не попасть под цунами?
2. Под каким углом к фронту цунами должен двигаться человек, если он двигается со скоростью \vartheta_{\min}?
Часть В. Лавина (3 балла)
Человек катается на лыжах по склону горы, которую можно считать наклонной плоскостью. В некоторый момент времени он замечает, что сверху срывается лавина шириной L=100 м, движущаяся с постоянным ускорением a=5,0 м/с^2. Человек находится прямо напротив середины фронта лавины на расстоянии l=100 м от нее. Чтобы спастись, он начинает ехать с некоторой постоянной скоростью в неизменном направлении.
1. С какой минимальной скоростью \vartheta_{\min} должен ехать человек, чтобы не попасть под лавину?
2. Под каким углом к фронту лавины должен двигаться человек, если он двигается со скоростью \vartheta_{\min}?
Часть С. Черная дыра (2 балла)
Космический корабль попадает в черную дыру и начинает падать на нее с начального расстояния R по спирали таким образом, что его радиальная \vartheta_{r} и тангенциальная \vartheta_{t}, скорости зависят от расстояния r до центра черной дыры по закону: \vartheta_{r}=\alpha/r и \vartheta_{t}=\beta r^{2}, где \alpha и \beta — некоторые известные постоянные величины. Радиальная скорость — это компонента вектора скорости \vartheta, направленная к центру черной дыры, а тангенциальная скорость — это компонента, перпендикулярная радиальной.
1. Какой угол составляет вектор скорости \vartheta с направлением на центр черной дыры в момент времени, когда расстояние до центра черной дыры сократилось вдвое и стало равным R/2?
2. Сколько времени прошло от начала падения до этого момента времени?
комментарий/решение
Часть А. Цунами (3 балла)
Человек, находящийся на суше, замечает цунами, которое приближается к нему со скоростью ϑ=25 км/ч и имеет ширину L=100 м. Человек находится прямо напротив середины фронта цунами на расстоянии l=50 м от него. Чтобы спастись, он начинает бежать с некоторой постоянной скоростью в неизменном направлении.
1. С какой минимальной скоростью ϑmin должен бежать человек, чтобы не попасть под цунами?
2. Под каким углом к фронту цунами должен двигаться человек, если он двигается со скоростью \vartheta_{\min}?
Часть В. Лавина (3 балла)
Человек катается на лыжах по склону горы, которую можно считать наклонной плоскостью. В некоторый момент времени он замечает, что сверху срывается лавина шириной L=100 м, движущаяся с постоянным ускорением a=5,0 м/с^2. Человек находится прямо напротив середины фронта лавины на расстоянии l=100 м от нее. Чтобы спастись, он начинает ехать с некоторой постоянной скоростью в неизменном направлении.
1. С какой минимальной скоростью \vartheta_{\min} должен ехать человек, чтобы не попасть под лавину?
2. Под каким углом к фронту лавины должен двигаться человек, если он двигается со скоростью \vartheta_{\min}?
Часть С. Черная дыра (2 балла)
Космический корабль попадает в черную дыру и начинает падать на нее с начального расстояния R по спирали таким образом, что его радиальная \vartheta_{r} и тангенциальная \vartheta_{t}, скорости зависят от расстояния r до центра черной дыры по закону: \vartheta_{r}=\alpha/r и \vartheta_{t}=\beta r^{2}, где \alpha и \beta — некоторые известные постоянные величины. Радиальная скорость — это компонента вектора скорости \vartheta, направленная к центру черной дыры, а тангенциальная скорость — это компонента, перпендикулярная радиальной.
1. Какой угол составляет вектор скорости \vartheta с направлением на центр черной дыры в момент времени, когда расстояние до центра черной дыры сократилось вдвое и стало равным R/2?
2. Сколько времени прошло от начала падения до этого момента времени?
комментарий/решение
Задача №2. Апокалипсис-2 (8 баллов)
Столкновения астероидов с Землей играли важную роль в истории нашей планеты. Такие столкновения могут иметь очень опасные последствия для всего человечества и рассматриваются в апокалипсических сценариях. Для примера рассмотрим данные об орбите астероида Аполлон. Перигелий — минимальное расстояние до Солнца r_{\min}=\beta R, где \beta=0.65, а R обозначает радиус круговой орбиты Земли. Афелий — максимальное расстояние от Солнца r_{\max}=\alpha R, где \alpha=2.30. Известны следующие числовые значения: орбитальная скорость Земли \vartheta_0=30 км/с, радиус Земли R_0=6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли g=9,8 м/с^2. Считайте, что орбиты Аполлона и Земли лежат в одной плоскости и их вращение вокруг Солнца происходит в одном направлении.
1. Пренебрегая силой притяжения Земли, найдите скорость астероида \vartheta вблизи Земли в системе отсчета, связанной с Солнцем; (2 балла)
2. Вычислите тангенциальную и радиальную скорости \vartheta_{t} и \vartheta_{r} этой скорости, то есть компоненты вектора скорости, перпендикулярные и параллельные вектору, проведенному из центра Солнца к положению астероида; (3 балла)
3. Найдите эти же компоненты u_{t} и u_{r} в системе отсчета, связанной с Землей; (1 балл)
4. Найдите скорость астероида \vartheta при его вхождении в атмосферу Земли на высоте h=100 км. (2 балла)
комментарий/решение
Столкновения астероидов с Землей играли важную роль в истории нашей планеты. Такие столкновения могут иметь очень опасные последствия для всего человечества и рассматриваются в апокалипсических сценариях. Для примера рассмотрим данные об орбите астероида Аполлон. Перигелий — минимальное расстояние до Солнца r_{\min}=\beta R, где \beta=0.65, а R обозначает радиус круговой орбиты Земли. Афелий — максимальное расстояние от Солнца r_{\max}=\alpha R, где \alpha=2.30. Известны следующие числовые значения: орбитальная скорость Земли \vartheta_0=30 км/с, радиус Земли R_0=6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли g=9,8 м/с^2. Считайте, что орбиты Аполлона и Земли лежат в одной плоскости и их вращение вокруг Солнца происходит в одном направлении.
1. Пренебрегая силой притяжения Земли, найдите скорость астероида \vartheta вблизи Земли в системе отсчета, связанной с Солнцем; (2 балла)
2. Вычислите тангенциальную и радиальную скорости \vartheta_{t} и \vartheta_{r} этой скорости, то есть компоненты вектора скорости, перпендикулярные и параллельные вектору, проведенному из центра Солнца к положению астероида; (3 балла)
3. Найдите эти же компоненты u_{t} и u_{r} в системе отсчета, связанной с Землей; (1 балл)
4. Найдите скорость астероида \vartheta при его вхождении в атмосферу Земли на высоте h=100 км. (2 балла)
комментарий/решение
Задача №3. Адские стержни (7 баллов)
Два одинаковых стержня, имеющих длину l_0 при температуре T_0=273,15 К, изготовлены из необычного материала, имеющего коэффициент линейного расширения \alpha\ll 1. Необычность материала заключается в том, что его удельная теплоемкость зависит от температуры линейно c=\beta T. Один стержень нагрели до температуры T_1, а другой до температуры T_2>T_1.
1. Чему равны длины стержней l_1 и l_2? (1 балл)
Стержни привели в тепловой контакт друг с другом.
2. Чему равна установившаяся температура стержней? (1 балл)
3. Увеличится или уменьшится суммарная длина стержней до и после приведения в тепловой контакт? Ответ обоснуйте. (1 балл) Теперь снова берут один стержень и нагревают так, что разные его точки имеют разную температуру. График зависимости температуры стержня T от расстояния x до одного из концов имеет вид, представленный на рисунке справа (учтено, что \alpha\ll 1!).
4. Чему равна длина стержня в этом случае? (2 балла)
Стержень предоставляют самому себе и в результате теплопроводности температура вдоль стержня выравнивается.
5. Чему равна установившаяся температура стержня? (2 балла)
комментарий/решение
Два одинаковых стержня, имеющих длину l_0 при температуре T_0=273,15 К, изготовлены из необычного материала, имеющего коэффициент линейного расширения \alpha\ll 1. Необычность материала заключается в том, что его удельная теплоемкость зависит от температуры линейно c=\beta T. Один стержень нагрели до температуры T_1, а другой до температуры T_2>T_1.
1. Чему равны длины стержней l_1 и l_2? (1 балл)
Стержни привели в тепловой контакт друг с другом.
2. Чему равна установившаяся температура стержней? (1 балл)
3. Увеличится или уменьшится суммарная длина стержней до и после приведения в тепловой контакт? Ответ обоснуйте. (1 балл) Теперь снова берут один стержень и нагревают так, что разные его точки имеют разную температуру. График зависимости температуры стержня T от расстояния x до одного из концов имеет вид, представленный на рисунке справа (учтено, что \alpha\ll 1!).
4. Чему равна длина стержня в этом случае? (2 балла)
Стержень предоставляют самому себе и в результате теплопроводности температура вдоль стержня выравнивается.
5. Чему равна установившаяся температура стержня? (2 балла)
комментарий/решение
Задача №4. Адский мостик (7 баллов)
Была собрана схема, изображенная на рисунке внизу. В ней есть два сопротивления, R_1=10 Ом и R_2=1/50 Ом соответственно. К точкам B и C можно подключать источник постоянного напряжения, а амперметр А показывает текущий через него ток. Элементы X_1 и X_2 — съемные, на их место можно подключать различные приборы.
1. В качестве элемента X_1 было подключено сопротивление R=2 Ом. Какое сопротивление R_{X} надо подключить в качестве X_2, чтобы показания амперметра оставались нулевыми при любом значении напряжения, приложенного к точкам B и C? (3 балла)
2. В качестве элемента X_1 был подключен прибор, вольтамперная характеристика показана на рисунке внизу. Вольтамперная характеристика — это зависимость тока, протекающего через прибор, от приложенного к нему напряжения. Постройте вольтамперную характеристику прибора, который нужно подключить в качестве элемента X_2, чтобы показания амперметра оставались нулевыми при любом значении напряжения, приложенного к точкам B и C. Напряжение на вольтамперной характеристике должно меняться в диапазоне от 0 до 5 В. (4 балла)
комментарий/решение
Была собрана схема, изображенная на рисунке внизу. В ней есть два сопротивления, R_1=10 Ом и R_2=1/50 Ом соответственно. К точкам B и C можно подключать источник постоянного напряжения, а амперметр А показывает текущий через него ток. Элементы X_1 и X_2 — съемные, на их место можно подключать различные приборы.
1. В качестве элемента X_1 было подключено сопротивление R=2 Ом. Какое сопротивление R_{X} надо подключить в качестве X_2, чтобы показания амперметра оставались нулевыми при любом значении напряжения, приложенного к точкам B и C? (3 балла)
2. В качестве элемента X_1 был подключен прибор, вольтамперная характеристика показана на рисунке внизу. Вольтамперная характеристика — это зависимость тока, протекающего через прибор, от приложенного к нему напряжения. Постройте вольтамперную характеристику прибора, который нужно подключить в качестве элемента X_2, чтобы показания амперметра оставались нулевыми при любом значении напряжения, приложенного к точкам B и C. Напряжение на вольтамперной характеристике должно меняться в диапазоне от 0 до 5 В. (4 балла)
комментарий/решение