Республиканская олимпиада по физике 2012, 9 класс, теоретический тур

Адские стержни (7 баллов)
Два одинаковых стержня, имеющих длину $l_0$ при температуре $T_0=273,15$ К, изготовлены из необычного материала, имеющего коэффициент линейного расширения $\alpha\ll 1$. Необычность материала заключается в том, что его удельная теплоемкость зависит от температуры линейно $c=\beta T$. Один стержень нагрели до температуры $T_1$, а другой до температуры $T_2>T_1$.
1. Чему равны длины стержней $l_1$ и $l_2$? (1 балл)
Стержни привели в тепловой контакт друг с другом.
2. Чему равна установившаяся температура стержней? (1 балл)
3. Увеличится или уменьшится суммарная длина стержней до и после приведения в тепловой контакт? Ответ обоснуйте. (1 балл) Теперь снова берут один стержень и нагревают так, что разные его точки имеют разную температуру. График зависимости температуры стержня $T$ от расстояния $x$ до одного из концов имеет вид, представленный на рисунке справа (учтено, что $\alpha\ll 1!$).
4. Чему равна длина стержня в этом случае? (2 балла)
Стержень предоставляют самому себе и в результате теплопроводности температура вдоль стержня выравнивается.
5. Чему равна установившаяся температура стержня? (2 балла)