қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2012, 9 класс, теоретический тур
Задача №1. Катастрофы (8 баллов)
Часть А. Цунами (3 балла)
Человек, находящийся на суше, замечает цунами, которое приближается к нему со скоростью $\vartheta=25$ км/ч и имеет ширину $L=100$ м. Человек находится прямо напротив середины фронта цунами на расстоянии $l=50$ м от него. Чтобы спастись, он начинает бежать с некоторой постоянной скоростью в неизменном направлении.
1. С какой минимальной скоростью $\vartheta_{\min}$ должен бежать человек, чтобы не попасть под цунами?
2. Под каким углом к фронту цунами должен двигаться человек, если он двигается со скоростью $\vartheta_{\min}$?
Часть В. Лавина (3 балла)
Человек катается на лыжах по склону горы, которую можно считать наклонной плоскостью. В некоторый момент времени он замечает, что сверху срывается лавина шириной $L=100$ м, движущаяся с постоянным ускорением $a=5,0$ м/с$^2$. Человек находится прямо напротив середины фронта лавины на расстоянии $l=100$ м от нее. Чтобы спастись, он начинает ехать с некоторой постоянной скоростью в неизменном направлении.
1. С какой минимальной скоростью $\vartheta_{\min}$ должен ехать человек, чтобы не попасть под лавину?
2. Под каким углом к фронту лавины должен двигаться человек, если он двигается со скоростью $\vartheta_{\min}$?
Часть С. Черная дыра (2 балла)
Космический корабль попадает в черную дыру и начинает падать на нее с начального расстояния $R$ по спирали таким образом, что его радиальная $\vartheta_{r}$ и тангенциальная $\vartheta_{t}$, скорости зависят от расстояния $r$ до центра черной дыры по закону: $\vartheta_{r}=\alpha/r$ и $\vartheta_{t}=\beta r^{2}$, где $\alpha$ и $\beta$ — некоторые известные постоянные величины. Радиальная скорость — это компонента вектора скорости $\vartheta$, направленная к центру черной дыры, а тангенциальная скорость — это компонента, перпендикулярная радиальной.
1. Какой угол составляет вектор скорости $\vartheta$ с направлением на центр черной дыры в момент времени, когда расстояние до центра черной дыры сократилось вдвое и стало равным $R/2$?
2. Сколько времени прошло от начала падения до этого момента времени?
комментарий/решение
Часть А. Цунами (3 балла)
Человек, находящийся на суше, замечает цунами, которое приближается к нему со скоростью $\vartheta=25$ км/ч и имеет ширину $L=100$ м. Человек находится прямо напротив середины фронта цунами на расстоянии $l=50$ м от него. Чтобы спастись, он начинает бежать с некоторой постоянной скоростью в неизменном направлении.
1. С какой минимальной скоростью $\vartheta_{\min}$ должен бежать человек, чтобы не попасть под цунами?
2. Под каким углом к фронту цунами должен двигаться человек, если он двигается со скоростью $\vartheta_{\min}$?
Часть В. Лавина (3 балла)
Человек катается на лыжах по склону горы, которую можно считать наклонной плоскостью. В некоторый момент времени он замечает, что сверху срывается лавина шириной $L=100$ м, движущаяся с постоянным ускорением $a=5,0$ м/с$^2$. Человек находится прямо напротив середины фронта лавины на расстоянии $l=100$ м от нее. Чтобы спастись, он начинает ехать с некоторой постоянной скоростью в неизменном направлении.
1. С какой минимальной скоростью $\vartheta_{\min}$ должен ехать человек, чтобы не попасть под лавину?
2. Под каким углом к фронту лавины должен двигаться человек, если он двигается со скоростью $\vartheta_{\min}$?
Часть С. Черная дыра (2 балла)
Космический корабль попадает в черную дыру и начинает падать на нее с начального расстояния $R$ по спирали таким образом, что его радиальная $\vartheta_{r}$ и тангенциальная $\vartheta_{t}$, скорости зависят от расстояния $r$ до центра черной дыры по закону: $\vartheta_{r}=\alpha/r$ и $\vartheta_{t}=\beta r^{2}$, где $\alpha$ и $\beta$ — некоторые известные постоянные величины. Радиальная скорость — это компонента вектора скорости $\vartheta$, направленная к центру черной дыры, а тангенциальная скорость — это компонента, перпендикулярная радиальной.
1. Какой угол составляет вектор скорости $\vartheta$ с направлением на центр черной дыры в момент времени, когда расстояние до центра черной дыры сократилось вдвое и стало равным $R/2$?
2. Сколько времени прошло от начала падения до этого момента времени?
комментарий/решение
Задача №2. Апокалипсис-2 (8 баллов)
Столкновения астероидов с Землей играли важную роль в истории нашей планеты. Такие столкновения могут иметь очень опасные последствия для всего человечества и рассматриваются в апокалипсических сценариях. Для примера рассмотрим данные об орбите астероида Аполлон. Перигелий — минимальное расстояние до Солнца $r_{\min}=\beta R$, где $\beta=0.65$, а $R$ обозначает радиус круговой орбиты Земли. Афелий — максимальное расстояние от Солнца $r_{\max}=\alpha R$, где $\alpha=2.30$. Известны следующие числовые значения: орбитальная скорость Земли $\vartheta_0=30$ км/с, радиус Земли $R_0=6400$ км, ускорение свободного падения на поверхности Земли $g=9,8$ м/с$^2$. Считайте, что орбиты Аполлона и Земли лежат в одной плоскости и их вращение вокруг Солнца происходит в одном направлении.
1. Пренебрегая силой притяжения Земли, найдите скорость астероида $\vartheta$ вблизи Земли в системе отсчета, связанной с Солнцем; (2 балла)
2. Вычислите тангенциальную и радиальную скорости $\vartheta_{t}$ и $\vartheta_{r}$ этой скорости, то есть компоненты вектора скорости, перпендикулярные и параллельные вектору, проведенному из центра Солнца к положению астероида; (3 балла)
3. Найдите эти же компоненты $u_{t}$ и $u_{r}$ в системе отсчета, связанной с Землей; (1 балл)
4. Найдите скорость астероида $\vartheta$ при его вхождении в атмосферу Земли на высоте $h=100$ км. (2 балла)
комментарий/решение
Столкновения астероидов с Землей играли важную роль в истории нашей планеты. Такие столкновения могут иметь очень опасные последствия для всего человечества и рассматриваются в апокалипсических сценариях. Для примера рассмотрим данные об орбите астероида Аполлон. Перигелий — минимальное расстояние до Солнца $r_{\min}=\beta R$, где $\beta=0.65$, а $R$ обозначает радиус круговой орбиты Земли. Афелий — максимальное расстояние от Солнца $r_{\max}=\alpha R$, где $\alpha=2.30$. Известны следующие числовые значения: орбитальная скорость Земли $\vartheta_0=30$ км/с, радиус Земли $R_0=6400$ км, ускорение свободного падения на поверхности Земли $g=9,8$ м/с$^2$. Считайте, что орбиты Аполлона и Земли лежат в одной плоскости и их вращение вокруг Солнца происходит в одном направлении.
1. Пренебрегая силой притяжения Земли, найдите скорость астероида $\vartheta$ вблизи Земли в системе отсчета, связанной с Солнцем; (2 балла)
2. Вычислите тангенциальную и радиальную скорости $\vartheta_{t}$ и $\vartheta_{r}$ этой скорости, то есть компоненты вектора скорости, перпендикулярные и параллельные вектору, проведенному из центра Солнца к положению астероида; (3 балла)
3. Найдите эти же компоненты $u_{t}$ и $u_{r}$ в системе отсчета, связанной с Землей; (1 балл)
4. Найдите скорость астероида $\vartheta$ при его вхождении в атмосферу Земли на высоте $h=100$ км. (2 балла)
комментарий/решение
Задача №3. Адские стержни (7 баллов)
Два одинаковых стержня, имеющих длину $l_0$ при температуре $T_0=273,15$ К, изготовлены из необычного материала, имеющего коэффициент линейного расширения $\alpha\ll 1$. Необычность материала заключается в том, что его удельная теплоемкость зависит от температуры линейно $c=\beta T$. Один стержень нагрели до температуры $T_1$, а другой до температуры $T_2>T_1$.
1. Чему равны длины стержней $l_1$ и $l_2$? (1 балл)
Стержни привели в тепловой контакт друг с другом.
2. Чему равна установившаяся температура стержней? (1 балл)
3. Увеличится или уменьшится суммарная длина стержней до и после приведения в тепловой контакт? Ответ обоснуйте. (1 балл) Теперь снова берут один стержень и нагревают так, что разные его точки имеют разную температуру. График зависимости температуры стержня $T$ от расстояния $x$ до одного из концов имеет вид, представленный на рисунке справа (учтено, что $\alpha\ll 1!$).
4. Чему равна длина стержня в этом случае? (2 балла)
Стержень предоставляют самому себе и в результате теплопроводности температура вдоль стержня выравнивается.
5. Чему равна установившаяся температура стержня? (2 балла)
комментарий/решение
Два одинаковых стержня, имеющих длину $l_0$ при температуре $T_0=273,15$ К, изготовлены из необычного материала, имеющего коэффициент линейного расширения $\alpha\ll 1$. Необычность материала заключается в том, что его удельная теплоемкость зависит от температуры линейно $c=\beta T$. Один стержень нагрели до температуры $T_1$, а другой до температуры $T_2>T_1$.
1. Чему равны длины стержней $l_1$ и $l_2$? (1 балл)
Стержни привели в тепловой контакт друг с другом.
2. Чему равна установившаяся температура стержней? (1 балл)
3. Увеличится или уменьшится суммарная длина стержней до и после приведения в тепловой контакт? Ответ обоснуйте. (1 балл) Теперь снова берут один стержень и нагревают так, что разные его точки имеют разную температуру. График зависимости температуры стержня $T$ от расстояния $x$ до одного из концов имеет вид, представленный на рисунке справа (учтено, что $\alpha\ll 1!$).
4. Чему равна длина стержня в этом случае? (2 балла)
Стержень предоставляют самому себе и в результате теплопроводности температура вдоль стержня выравнивается.
5. Чему равна установившаяся температура стержня? (2 балла)
комментарий/решение
Задача №4. Адский мостик (7 баллов)
Была собрана схема, изображенная на рисунке внизу. В ней есть два сопротивления, $R_1=10$ Ом и $R_2=1/50$ Ом соответственно. К точкам $B$ и $C$ можно подключать источник постоянного напряжения, а амперметр А показывает текущий через него ток. Элементы $X_1$ и $X_2$ — съемные, на их место можно подключать различные приборы.
1. В качестве элемента $X_1$ было подключено сопротивление $R=2$ Ом. Какое сопротивление $R_{X}$ надо подключить в качестве $X_2$, чтобы показания амперметра оставались нулевыми при любом значении напряжения, приложенного к точкам $B$ и $C$? (3 балла)
2. В качестве элемента $X_1$ был подключен прибор, вольтамперная характеристика показана на рисунке внизу. Вольтамперная характеристика — это зависимость тока, протекающего через прибор, от приложенного к нему напряжения. Постройте вольтамперную характеристику прибора, который нужно подключить в качестве элемента $X_2$, чтобы показания амперметра оставались нулевыми при любом значении напряжения, приложенного к точкам $B$ и $C$. Напряжение на вольтамперной характеристике должно меняться в диапазоне от $0$ до $5$ В. (4 балла)
комментарий/решение
Была собрана схема, изображенная на рисунке внизу. В ней есть два сопротивления, $R_1=10$ Ом и $R_2=1/50$ Ом соответственно. К точкам $B$ и $C$ можно подключать источник постоянного напряжения, а амперметр А показывает текущий через него ток. Элементы $X_1$ и $X_2$ — съемные, на их место можно подключать различные приборы.
1. В качестве элемента $X_1$ было подключено сопротивление $R=2$ Ом. Какое сопротивление $R_{X}$ надо подключить в качестве $X_2$, чтобы показания амперметра оставались нулевыми при любом значении напряжения, приложенного к точкам $B$ и $C$? (3 балла)
2. В качестве элемента $X_1$ был подключен прибор, вольтамперная характеристика показана на рисунке внизу. Вольтамперная характеристика — это зависимость тока, протекающего через прибор, от приложенного к нему напряжения. Постройте вольтамперную характеристику прибора, который нужно подключить в качестве элемента $X_2$, чтобы показания амперметра оставались нулевыми при любом значении напряжения, приложенного к точкам $B$ и $C$. Напряжение на вольтамперной характеристике должно меняться в диапазоне от $0$ до $5$ В. (4 балла)
комментарий/решение