Республиканская олимпиада по физике 2011, 11 класс, теоретический тур

Задача №1.  «Навороченная» резинка (9 баллов)
Тело массой $m$ прикреплено к одному концу резинки, а ее второй конец зафиксирован. Коэффициент упругости резинки равен $k$. Начальные условия таковы, что тело движется по окружности радиусом $L$. В какой-то момент времени цилиндр радиуса $a$ $(\ll l)$ устанавливается рядом с центром окружности, как показано на рисунке. С этого момента времени резинка начинает наматываться на цилиндр. Предполагая, что цилиндр является липким, сколько времени потребуется телу, чтобы достигнуть цилиндра?

комментарий/решение

---

Задача №2.  Обогреватель (7 баллов)
Дом обогревается тепловой машиной, питающейся от сети мощностью $P=10000$ Вт и работающей по прямому циклу Карно. Охладителем служит атмосферный воздух, а нагревателем - воздух внутри дома. При температуре окружающей среды $T_{01}=5,0^{\circ}$ С в доме через некоторое время устанавливается температура $T_{1}=25,0^{\circ}$ С. Считая, что потери тепла пропорциональны разности температур внутри и вне дома, ответьте на следующие вопросы:

1. Какое количество тепла теряет комната за одни сутки?
2. Температура окружающего воздуха стала равной $T_{02}=-5,0^{\circ}$ С. Какая температура воздуха $T_2$ установится через некоторое время в доме?
3. Тепловую машину запустили по обратному циклу Карно. Какая температура воздуха $T_{3}$ установится в доме через некоторое время? Температура окружающей среды $T_{01}=5,0^{\circ}$ С;
4. Установили две такие же тепловые машины, каждая из которых питается от сети мощностью $P=10000$ Вт и работающих по каскадному принципу (нагреватель одной машины служит охладителем другой). При какой температуре окружающего воздуха $T_{04}$ комнатная температура останется равной $T_1=25,0^{\circ}$ С?

комментарий/решение

---

Задача №3.  Сила взаимодействия между проводящими сферой и плоскостью (8 баллов)
Проблема, с которой часто сталкиваются в атомной микроскопии, состоит в том, чтобы определить силу взаимодействия между проводящей сферой радиуса $R$ и потенциалом $V$ и проводящей плоскостью с нулевым потенциалом. Расстояние между телами равно $H_{0}$ (см. рисунок). Чтобы найти силу, применим шаг за шагом метод зеркального отражения.

1. Поместим такой заряд $q_{0}$ на сферу, чтобы поверхность сферы являлась эквипотенциальной с потенциалом $V$. Пренебрегая присутствием проводящей плоскости, выразите $q_{0}$ через $V$ и $R$;
2. Определите значение $q_{1}$ и положение $h_{1}$ изображения заряда до в проводящей плоскости;
3. Присутствие заряда $q_{1}$ нарушает эквипотенциальность проводящей сферы. Это положение можно исправить помещением другого заряда $q_{2}$ внутри сферы таким образом, чтобы суммарный вклад от $q_{0}$, $q_{1}$ и $q_{2}$ восстановил эквипотенциальность проводящей сферы. Определите $q_{2}$ и его положение $h_{2}$;
4. Повторите (b), чтобы найти изображение заряда $q_{2}$ (назовите его $q_{4}$), и затем повторите (с) чтобы найти изображение заряда $q_{3}$ (назовите его $q_{4}$). Получите общую связь между $h_{2n}$ и $h_{2(n+1)}$, $q_{2n}$ и $q_{2(n+1)}$, $q_{2n+1}$ и $q_{2n}$, $n=0,1,2\ldots$;
5. Найдите полную силу взаимодействия между проводящей сферой и плоскостью в виде суммы бесконечного ряда;
6. Предположим, что сила в (е) равна $1.1\times 10^{-12}$ Н, при $V=V_{0}$, $R=1.0\times 10^{-8}$ м, и $h_{0}=5.0\times 10^{-8}$ м. Найдите силу при $V=2 V_{0}$, $R=1.0$ м, и $h_{0}=5.0$ м;
7. Дано $R/h_{0}=1/51$. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы определить силу в (е) с точностью до $\sim 1\%$?

комментарий/решение

---

Задача №4.  Смотри себе в затылок (6 баллов)
Некая планета состоит из материала с той же средней плотностью, что и Земля. Предположим, что атмосферное давление на поверхности этой планеты такое же, как и на поверхности Земли и равно $P_0$. Температура атмосферы всюду постоянна. Каким должен быть радиус планеты $R$, чтобы человек, стоящий на ее поверхности, мог увидеть свой затылок? Коэффициент преломления атмосферы зависит от ее плотности следующим образом: $n(\rho)=1+\varepsilon \rho$, где $\varepsilon$ — некоторая постоянная. Известно, что радиус Земли равен $R_0$, ускорение свободного падения на поверхности Земли $g$, плотность атмосферы на поверхности планеты $\rho_0$.
комментарий/решение

---