Республиканская олимпиада по физике 2011, 11 класс, теоретический тур

Сила взаимодействия между проводящими сферой и плоскостью (8 баллов)
Проблема, с которой часто сталкиваются в атомной микроскопии, состоит в том, чтобы определить силу взаимодействия между проводящей сферой радиуса $R$ и потенциалом $V$ и проводящей плоскостью с нулевым потенциалом. Расстояние между телами равно $H_{0}$ (см. рисунок). Чтобы найти силу, применим шаг за шагом метод зеркального отражения.

1. Поместим такой заряд $q_{0}$ на сферу, чтобы поверхность сферы являлась эквипотенциальной с потенциалом $V$. Пренебрегая присутствием проводящей плоскости, выразите $q_{0}$ через $V$ и $R$;
2. Определите значение $q_{1}$ и положение $h_{1}$ изображения заряда до в проводящей плоскости;
3. Присутствие заряда $q_{1}$ нарушает эквипотенциальность проводящей сферы. Это положение можно исправить помещением другого заряда $q_{2}$ внутри сферы таким образом, чтобы суммарный вклад от $q_{0}$, $q_{1}$ и $q_{2}$ восстановил эквипотенциальность проводящей сферы. Определите $q_{2}$ и его положение $h_{2}$;
4. Повторите (b), чтобы найти изображение заряда $q_{2}$ (назовите его $q_{4}$), и затем повторите (с) чтобы найти изображение заряда $q_{3}$ (назовите его $q_{4}$). Получите общую связь между $h_{2n}$ и $h_{2(n+1)}$, $q_{2n}$ и $q_{2(n+1)}$, $q_{2n+1}$ и $q_{2n}$, $n=0,1,2\ldots$;
5. Найдите полную силу взаимодействия между проводящей сферой и плоскостью в виде суммы бесконечного ряда;
6. Предположим, что сила в (е) равна $1.1\times 10^{-12}$ Н, при $V=V_{0}$, $R=1.0\times 10^{-8}$ м, и $h_{0}=5.0\times 10^{-8}$ м. Найдите силу при $V=2 V_{0}$, $R=1.0$ м, и $h_{0}=5.0$ м;
7. Дано $R/h_{0}=1/51$. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы определить силу в (е) с точностью до $\sim 1\%$?