қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. ${{d}_{1}}$ және ${{d}_{2}}$ сандары $n$ санының бөлгіштері (${{d}_{1}}{{d}_{2}}\ne n$). Егер ЕҮОБ$\left( {{d}_{1}},n/{{d}_{2}} \right)=$ЕҮОБ$\left( {{d}_{2}},n/{{d}_{1}} \right)$ болса, онда ${{d}_{1}}={{d}_{2}}$ екенін дәлелде. ЕҮОБ — ең үлкен ортақ бөлгіш.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $\left( 2k+1 \right)\left( 2k+1 \right)$ шақпақты кестенің әрбір шақпағына бутін сандар жазылған. Әр мезетте әр шақпактағы санның орнына көршілес шакпақтардағы сандардың қосындысы жазылады (ортақ қабырғалары бар шақпактарды кершілес шақпақтар деп атаймыз). Егер де бастапқы мезетте кестедегі сандардың ішінде жұп сандар кездессе, бір мезетте тек тақ сандардан тұратын кестенің шығуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $\left( x-27 \right)P\left( 3x \right)=27\left( x-1 \right)P\left( x \right)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $P\left( x \right)$ көпмүшеліктерін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $O$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышының $A$ төбесіне сәйкес келетін іштейсырт $\omega$ шеңберінің центрі ($AB\ne AC$). $\omega$ шеңбері $BC$ кесіндісін $K$ нүктеде, ал $AC$ және $AB$ түзулерінің созындыларын сәйкесінше $M$ және $P$ нүктелерінде жанайды. $AO$ және $PM$ түзулері $T$ нүктесінде қиылысады, ал $AK$ түзуі $\omega$ шеңберін екінші рет $H$ нүктесінде қияды. $K$, $T$, $O$ және $H$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $f\left( n \right)$ функциясы кез келген натурал $n$ үшін анықталган, ал оның мәні теріс емес бүтін сандарға ғана тең бола алады. $f$ функциясы төмендегі тендіктерді қанағаттандырсын:
а) кез келген натурал $m$ және $n$ сандары үшін $f\left( mn \right)=f\left( m \right)+f\left( n \right)$;
б) кез келген 3-пен аяқталатын натурал $n$ үшін $f\left( n \right)=0$. (Мысалы, $0=f\left( 3 \right)=f\left( 13 \right)=\ldots $. )
Барлық натурал $n$ үшін $f\left( n \right)=0$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
а) кез келген натурал $m$ және $n$ сандары үшін $f\left( mn \right)=f\left( m \right)+f\left( n \right)$;
б) кез келген 3-пен аяқталатын натурал $n$ үшін $f\left( n \right)=0$. (Мысалы, $0=f\left( 3 \right)=f\left( 13 \right)=\ldots $. )
Барлық натурал $n$ үшін $f\left( n \right)=0$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Коэффициенттері теріс емес $P(x)={{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+\ldots +{{a}_{n-1}}x+1$ көпмүшелігінің $n$ нақты түбірлері бар. $P\left( 1998 \right) \ge {{1999}^{n}}$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №7. $ABCD$ квадратының ішінде $P$ нүктесі $AP=2\sqrt{3}$; $BP=\sqrt{2}$; $PC=4$ болатындай орналасқан. $\angle APC=120{}^\circ $ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. 2401 саны жиырма бес натурал санның қосындысы түрінде жазылған. Осы жиырма бес санның ең кіші ортак еселігі $A$-саны болсын. $A$-нын ең кіші мүмкін мәнін тап.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)