Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Есеп шарты бойынша
b1+b2+b3+...b25=2401 (1)
Бұл жердегі сандар индекс боп табылады.
Ең кіші ортақ еселік мынаған тең
А=а1×b1=a2×b2=....=a25×b25
Бұл жердегі а және b сандары натурал сандар. b-ларды өрнектеп алып, (1) теңдеуге қоямыз сонда
(А/а1)+(А/а2)+....(А/а25)=2401
А-ны жақша сыртына шығарамыз
А[(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)]=2401
А=2401/[(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)]
2401=7×7×7×7 тең болады
Бізге А-ның ең кіші мәнін табу керек. Бірақ 1/а -дан ең көп дегенде 1 шығады. Олай болса:
(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)<=25 (2)
А-бізде натурал сан болғандықтан (2) ші теңсіздіктен 2401-ге бөлінетін натурал сан керек. Жоғарыда айтып өткендей 2401=7×7×7×7
Онда (2)теңсіздіктен 7нің еселігі болу керек. Біздің білетініміз бойынша бұл сан 25ден кіші. Ол 21;14;7 болу мүмкін. Бірақ 21;14 сандары 2401ге бөлінбейтін болғандықтан (2)ші теңдеу 7ге тең. Олай болса
А=(7×7×7×7)/7=7×7×7
Жауабы: А-ның мәні жетінің кубы
Решение неверное, 1/а1)+(1/а2)+...(1/а25) не обязано быть целым
$Ответ: 98. $
Например: $98,...,98,49.$
Докажем что $98 $ наименьшее такое число. Так как найдётся число которое больше $96$ (из 25-ти чисел)(потому что $96•25<2401$), Пусть это будет $97. 97$ простое число, пусть НОК этих чисел будет $97$,тогда эти числа равны $1$ или $ 97$. Обозначим $х $это число чисел равных $97$(из 25ти чисел), то $97х+(25-х)=2401$ должно иметь решение, но оно не имеет решение. Это значит если если есть число $97$, то $НОК$ не может быть равным $97$, значит оно больше. Тогда $98$ наименьшее.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.