Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Есеп шарты бойынша
b1+b2+b3+...b25=2401 (1)
Бұл жердегі сандар индекс боп табылады.
Ең кіші ортақ еселік мынаған тең
А=а1×b1=a2×b2=....=a25×b25
Бұл жердегі а және b сандары натурал сандар. b-ларды өрнектеп алып, (1) теңдеуге қоямыз сонда
(А/а1)+(А/а2)+....(А/а25)=2401
А-ны жақша сыртына шығарамыз
А[(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)]=2401
А=2401/[(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)]
2401=7×7×7×7 тең болады
Бізге А-ның ең кіші мәнін табу керек. Бірақ 1/а -дан ең көп дегенде 1 шығады. Олай болса:
(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)<=25 (2)
А-бізде натурал сан болғандықтан (2) ші теңсіздіктен 2401-ге бөлінетін натурал сан керек. Жоғарыда айтып өткендей 2401=7×7×7×7
Онда (2)теңсіздіктен 7нің еселігі болу керек. Біздің білетініміз бойынша бұл сан 25ден кіші. Ол 21;14;7 болу мүмкін. Бірақ 21;14 сандары 2401ге бөлінбейтін болғандықтан (2)ші теңдеу 7ге тең. Олай болса
А=(7×7×7×7)/7=7×7×7
Жауабы: А-ның мәні жетінің кубы
Решение неверное, 1/а1)+(1/а2)+...(1/а25) не обязано быть целым
Ответ:98.
Например: 98,...,98,49.
Докажем что 98 наименьшее такое число. Так как найдётся число которое больше 96 (из 25-ти чисел)(потому что 96•25<2401), Пусть это будет 97.97 простое число, пусть НОК этих чисел будет 97,тогда эти числа равны 1 или 97. Обозначим хэто число чисел равных 97(из 25ти чисел), то 97х+(25−х)=2401 должно иметь решение, но оно не имеет решение. Это значит если если есть число 97, то НОК не может быть равным 97, значит оно больше. Тогда 98 наименьшее.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.