қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Пусть $d_1$, $d_2$ — делители числа $n$ ($d_1 \cdot d_2\neq n$). Докажите, что, если
${\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} \left( {{d_1},\frac{n}{{{d_2}}}} \right) = {\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} \left( {{d_2},\frac{n}{{{d_1}}}} \right)$, то $d_1=d_2$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Дана таблица $(2k+1)\times (2k+1)$ в каждой клетке которой записано целое число. В каждый момент времени во все клетки записывается сумма чисел, стоящих в соседних клетках (клетки считаются соседними, если имеют общее ребро). Можно ли получить таблицу с нечетными числами, если первоначально среди них были и четные числа?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите все многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие соотношению: $$(x-27)P(3x)=27(x-1)P(x).$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть $O$ — центр вневписанной окружности $\omega $ треугольника $ABC$ ($AB\neq AC$). Окружность $\omega$ касается стороны $BC$ в точке $K$, а с продолжениями сторон $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Определим точки: $T$ — точка пересечения прямых $AO$ и $PM$, $H$ — вторая точка пересечения окружности $\omega$ и прямой $AK$ Докажите, что точки $K$, $T$, $O$ и $H$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть функция $f(n)$ определена на всех натуральных $n$, а её значения могут быть целыми неотрицательными числами.
Пусть $f$ удовлетворяет следующим условиям:
а) $f(mn) = f(m) + f(n)$ для всех натуральных $m$ и $n$;
б) $f(n) = 0$ для всех натуральных $n$, заканчивающихся на цифру 3 (Например, $0=f(3)=f(13)=f(23)= \dots $);
с) $f(2030)=0$;
Докажите, что $f(n)=0$ для всех натуральных $n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Пусть $P(x) = x^n + a_1 x^{n - 1} + a_2 x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} x + 1$ многочлен с неотрицательными коэффициентами, имеющий $n$ действительных корней. Покажите, что $P(1998) \geq 1999^n $.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №7. В квадрате $ABCD$ расположена точка $P$ таким образом, что $AP=2\sqrt3$; $BP=\sqrt2$; $CP=4$. Докажите, что $\angle APC = 120^\circ $.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Число 2401 представлено в виде суммы двадцати пяти целых положительных чисел. Какое наименьшее значение может иметь наименьшее общее кратное этих двадцати пяти чисел?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)