Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$d_1$ ,

$d_2$ — делители числа

$n$ (

$d_1 \cdot d_2\neq n$ ). Докажите, что, если

${\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} \left( {{d_1},\frac{n}{{{d_2}}}} \right) = {\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} \left( {{d_2},\frac{n}{{{d_1}}}} \right)$ , то

$d_1=d_2$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Дана таблица

$(2k+1)\times (2k+1)$ в каждой клетке которой записано целое число. В каждый момент времени во все клетки записывается сумма чисел, стоящих в соседних клетках (клетки считаются соседними, если имеют общее ребро). Можно ли получить таблицу с нечетными числами, если первоначально среди них были и четные числа?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все многочлены

$P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие соотношению:

$(x-27)P(3x)=27(x-1)P(x).$
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$O$ — центр вневписанной окружности

$\omega$ треугольника

$ABC$ (

$AB\neq AC$ ). Окружность

$\omega$ касается стороны

$BC$ в точке

$K$ , а с продолжениями сторон

$AC$ и

$AB$ в точках

$M$ и

$P$ соответственно. Определим точки:

$T$ — точка пересечения прямых

$AO$ и

$PM$ ,

$H$ — вторая точка пересечения окружности

$\omega$ и прямой

$AK$ Докажите, что точки

$K$ ,

$T$ ,

$O$ и

$H$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Пусть функция

$f(n)$ определена на всех натуральных

$n$ , а её значения могут быть целыми неотрицательными числами. Пусть

$f$ удовлетворяет следующим условиям:
а)

$f(mn) = f(m) + f(n)$ для всех натуральных

$m$ и

$n$ ;
б)

$f(n) = 0$ для всех натуральных

$n$ , заканчивающихся на цифру 3 (Например,

$0=f(3)=f(13)=f(23)= \dots$ );
с)

$f(2030)=0$ ;
Докажите, что

$f(n)=0$ для всех натуральных

$n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Пусть

$P(x) = x^n + a_1 x^{n - 1} + a_2 x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} x + 1$ многочлен с неотрицательными коэффициентами, имеющий

$n$ действительных корней. Покажите, что

$P(1998) \geq 1999^n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №7. В квадрате

$ABCD$ расположена точка

$P$ таким образом, что

$AP=2\sqrt3$ ;

$BP=\sqrt2$ ;

$CP=4$ . Докажите, что

$\angle APC = 120^\circ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Число 2401 представлено в виде суммы двадцати пяти целых положительных чисел. Какое наименьшее значение может иметь наименьшее общее кратное этих двадцати пяти чисел?
комментарий/решение(3)