Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс


Пусть функция f(n) определена на всех натуральных n, а её значения могут быть целыми неотрицательными числами. Пусть f удовлетворяет следующим условиям:
а) f(mn)=f(m)+f(n) для всех натуральных m и n;
б) f(n)=0 для всех натуральных n, заканчивающихся на цифру 3 (Например, 0=f(3)=f(13)=f(23)=);
с) f(2030)=0;
Докажите, что f(n)=0 для всех натуральных n.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года 1 месяца назад #

Так как 0=f(2030)=f(10)+f(203)=f(10)=f(2)+f(5) f(2)=f(5)=0. Пусть натуральные числа a,b,c,d,e будут оканчиватся на цифры 1,3,5,7,9. Тогда 0=f(ab)=f(a)+f(b)=f(a) и 0=f(de)=f(d)+f(e), f(a)=f(d)=f(e)=0. Так как f(2k)=f(2)+f(k), f(2pq)=f(q), и f(5l)=f(5)+f(l),f(5ji)=f(i), тогда f(2x5yz)=f(z)=0 (где k,p,q,l,j,i,x,y натуральные числа, а z нечетное число не делящееся на 5). Тогда f(n)=0 для любого натурального n.