Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып

$f\left( n \right)$ функциясы кез келген натурал $n$ үшін анықталган, ал оның мәні теріс емес бүтін сандарға ғана тең бола алады. $f$ функциясы төмендегі тендіктерді қанағаттандырсын:
а) кез келген натурал $m$ және $n$ сандары үшін $f\left( mn \right)=f\left( m \right)+f\left( n \right)$;
б) кез келген 3-пен аяқталатын натурал $n$ үшін $f\left( n \right)=0$. (Мысалы, $0=f\left( 3 \right)=f\left( 13 \right)=\ldots $. )
Барлық натурал $n$ үшін $f\left( n \right)=0$ екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Так как $0=f(2030)=f(10)+f(203)=f(10)=f(2)+f(5)$ $f(2)=f(5)=0$. Пусть натуральные числа $a,b,c,d,e$ будут оканчиватся на цифры $1,3,5,7,9$. Тогда $0=f(ab)=f(a)+f(b)=f(a)$ и $0=f(de)=f(d)+f(e)$, $f(a)=f(d)=f(e)=0$. Так как $f(2k)=f(2)+f(k)$, $f(2^pq)=f(q)$, и $f(5l)=f(5)+f(l)$,$f(5^ji)=f(i)$, тогда $f(2^x5^yz)=f(z)=0$ (где $k,p,q,l,j,i,x,y$ натуральные числа, а z нечетное число не делящееся на 5). Тогда $f(n)=0$ для любого натурального $n$.