Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып


f(n) функциясы кез келген натурал n үшін анықталган, ал оның мәні теріс емес бүтін сандарға ғана тең бола алады. f функциясы төмендегі тендіктерді қанағаттандырсын:
а) кез келген натурал m және n сандары үшін f(mn)=f(m)+f(n);
б) кез келген 3-пен аяқталатын натурал n үшін f(n)=0. (Мысалы, 0=f(3)=f(13)=. )
Барлық натурал n үшін f(n)=0 екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года 3 месяца назад #

Так как 0=f(2030)=f(10)+f(203)=f(10)=f(2)+f(5) f(2)=f(5)=0. Пусть натуральные числа a,b,c,d,e будут оканчиватся на цифры 1,3,5,7,9. Тогда 0=f(ab)=f(a)+f(b)=f(a) и 0=f(de)=f(d)+f(e), f(a)=f(d)=f(e)=0. Так как f(2k)=f(2)+f(k), f(2pq)=f(q), и f(5l)=f(5)+f(l),f(5ji)=f(i), тогда f(2x5yz)=f(z)=0 (где k,p,q,l,j,i,x,y натуральные числа, а z нечетное число не делящееся на 5). Тогда f(n)=0 для любого натурального n.