Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс
Пусть $P(x) = x^n + a_1 x^{n - 1} + a_2 x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} x + 1$ многочлен с неотрицательными коэффициентами, имеющий $n$ действительных корней. Покажите, что $P(1998) \geq 1999^n $.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.Пусть $-x_1,-x_2,...,-x_n-$ корни многочлена $P(x)$ ( где, $x_1,x_2,...,x_n>0$). Тогда
$$ P(x)=(x+x_1)(x+x_2)\cdot ... \cdot (x+x_n)$$
$$P(1998)=(1998+x_1)(1998+x_2)\cdot ... \cdot (1998+x_n)=$$
$$( \underbrace{1+1+...+1}_{1998}+x_1)\cdot ... \cdot(\underbrace{1+1+...+1}_{1998}+x_n)\geq $$
$$\geq 1999^n\sqrt[1999]{x_1x_2...x_n}=1999^n$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.