Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

Пусть $P(x) = x^n + a_1 x^{n - 1} + a_2 x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} x + 1$ многочлен с неотрицательными коэффициентами, имеющий $n$ действительных корней. Покажите, что $P(1998) \geq 1999^n$.

Комментарий/решение

Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.Пусть $-x_1,-x_2,...,-x_n-$ корни многочлена $P(x)$ ( где, $x_1,x_2,...,x_n>0$). Тогда

$$P(x)=(x+x_1)(x+x_2)\cdot ... \cdot (x+x_n)$$

$$P(1998)=(1998+x_1)(1998+x_2)\cdot ... \cdot (1998+x_n)=$$

$$( \underbrace{1+1+...+1}_{1998}+x_1)\cdot ... \cdot(\underbrace{1+1+...+1}_{1998}+x_n)\geq$$

$$\geq 1999^n\sqrt[1999]{x_1x_2...x_n}=1999^n$$

Бұл Ньютон Биномы

$$P(x)=(x+1)^n$$

Яғни $P(1998)=>1999^2$