Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

В квадрате $ABCD$ расположена точка $P$ таким образом, что $AP=2\sqrt3$; $BP=\sqrt2$; $CP=4$. Докажите, что $\angle APC = 120^\circ $.

Комментарий/решение

$$ \triangle ABP: AB= x, BP=\sqrt{2}, AP=2\sqrt{3}, \angle ABP=\alpha \Rightarrow 12=x^2+2-2\sqrt{2}x\cos \alpha$$

$$ \triangle CBP: BC= x, BP=\sqrt{2}, PC=4, \angle CBP=90^o - \alpha \Rightarrow 16=x^2+2-2\sqrt{2}x\sin \alpha$$

$$\triangle ABP: \cos \alpha =\frac{x^2-10}{2\sqrt{2}}$$

$$\triangle CBP: \sin \alpha =\frac{x^2-14}{2\sqrt{2}}$$

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow \left(\frac{x^2-10}{2\sqrt{2}} \right)^2+\left(\frac{x^2-14}{2\sqrt{2}} \right)^2=1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow x^4-28x^2+148=0\mid x>0 \Rightarrow x_{1,2}=\sqrt{14\pm 4\sqrt{3}}$$

$$x=x_1=\sqrt{14+ 4\sqrt{3}}<AB+BP$$

$$\square ABCD: AB=BC=\sqrt{14\pm 4\sqrt{3}}\Rightarrow AC=AB\sqrt{2}=\sqrt{28+8\sqrt{3}}$$

$$\triangle APC: \left(\sqrt{28+8\sqrt{3}} \right)^2=28-16\sqrt{3}\cos \angle APC \Rightarrow \cos (\angle APC)=-\frac{1}{2} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \angle APC=120^o $$