Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып
ABCD квадратының ішінде P нүктесі AP=2√3; BP=√2; PC=4 болатындай орналасқан. ∠APC=120∘ екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
△ABP:AB=x,BP=√2,AP=2√3,∠ABP=α⇒12=x2+2−2√2xcosα
△CBP:BC=x,BP=√2,PC=4,∠CBP=90o−α⇒16=x2+2−2√2xsinα
△ABP:cosα=x2−102√2
△CBP:sinα=x2−142√2
sin2α+cos2α=1⇒(x2−102√2)2+(x2−142√2)2=1⇒
⇒x4−28x2+148=0∣x>0⇒x1,2=√14±4√3
x=x1=√14+4√3<AB+BP
◻ABCD:AB=BC=√14±4√3⇒AC=AB√2=√28+8√3
△APC:(√28+8√3)2=28−16√3cos∠APC⇒cos(∠APC)=−12⇒ ⇒∠APC=120o
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.