Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып

2401 саны жиырма бес натурал санның қосындысы түрінде жазылған. Осы жиырма бес санның ең кіші ортак еселігі $A$-саны болсын. $A$-нын ең кіші мүмкін мәнін тап.

Комментарий/решение

Есеп шарты бойынша

b1+b2+b3+...b25=2401 (1)

Бұл жердегі сандар индекс боп табылады.

Ең кіші ортақ еселік мынаған тең

А=а1×b1=a2×b2=....=a25×b25

Бұл жердегі а және b сандары натурал сандар. b-ларды өрнектеп алып, (1) теңдеуге қоямыз сонда

(А/а1)+(А/а2)+....(А/а25)=2401

А-ны жақша сыртына шығарамыз

А[(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)]=2401

А=2401/[(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)]

2401=7×7×7×7 тең болады

Бізге А-ның ең кіші мәнін табу керек. Бірақ 1/а -дан ең көп дегенде 1 шығады. Олай болса:

(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)<=25 (2)

А-бізде натурал сан болғандықтан (2) ші теңсіздіктен 2401-ге бөлінетін натурал сан керек. Жоғарыда айтып өткендей 2401=7×7×7×7

Онда (2)теңсіздіктен 7нің еселігі болу керек. Біздің білетініміз бойынша бұл сан 25ден кіші. Ол 21;14;7 болу мүмкін. Бірақ 21;14 сандары 2401ге бөлінбейтін болғандықтан (2)ші теңдеу 7ге тең. Олай болса

А=(7×7×7×7)/7=7×7×7

Жауабы: А-ның мәні жетінің кубы

Решение неверное, 1/а1)+(1/а2)+...(1/а25) не обязано быть целым

$Ответ: 98. $

Например: $98,...,98,49.$

Докажем что $98 $ наименьшее такое число. Так как найдётся число которое больше $96$ (из 25-ти чисел)(потому что $96•25<2401$), Пусть это будет $97. 97$ простое число, пусть НОК этих чисел будет $97$,тогда эти числа равны $1$ или $ 97$. Обозначим $х $это число чисел равных $97$(из 25ти чисел), то $97х+(25-х)=2401$ должно иметь решение, но оно не имеет решение. Это значит если если есть число $97$, то $НОК$ не может быть равным $97$, значит оно больше. Тогда $98$ наименьшее.