Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Екі ойыншы

$1998\times 1998$ шаршылы тактада келесі ойынды ойнайды. Олар кезек-кезек төмендегідей жүрістер жасайды:
а) ақ шаршыны қара түске бояуга болады. Немесе
б) егер, кез келген бағанда немесе қатарда ақ шаршылардың саны қара шаршылардың санынан көп болса, онда осы бағанның немесе осы катардың әрбір шаршыларын қарама-қарсы түске бояуға болады.
Қай ойыншының жүрісінен кейін тақта қара түске боялса, сол ойыншы жеңімпаз болып есептеледі. Егер басында тақтаның барлық шаршылары ак түсті болса, онда дұрыс стратегияны қолданып, қай ойыншы қарсыласының жүрісіне қарамастан, әрдайым ұта алады (бастаған ойыншы ма, әлде екінші ойышны ма)?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген бүтін

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{12}}$ сандар үшін

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{12}^{2})a_{1}^{2}a_{2}^{2}\ldots a_{12}^{2}$ санының 12-ге бөлінетінін деледе.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$98\times 99$ шақпақты тақтаның сол жақ төменгі бұрышында тұрған

$19\times 19$ шаршыларда 361 ақ дойбылар, ал оң жақ жоғарғы бұрышына тұрған

$19\times 19$ шаршыларда 361 қара дойбылар тұр. Бір жүрісте кез келген дойбыны келесі бір дойбыға карағанда симметриялы көшіруге болады (егер ол шаршы бос болса). Санаулы жүрістерден кейін қара мен ақ дойбылардың орындарымен ауыстыруға бола ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Дұрыс

$ABC$ үшбұрышының ішінде

$M$ нүктесі орналасқан.

$AC$ мен

$BM$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылыссын. Егер

$\angle AMB=30{}^\circ$ және

$MKC$ мен

$MCB$ үшбұрыштары ұқсас екені белгілі болса,

$MAB$ және

$MCB$ бұрыштарын тап.
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

$ABCD$ тіктөртбұрышының

$AC$ диагональында

$M$ нүктесі алынған.

${{O}_{1}}$ және

${{O}_{2}}$ нүктелері сәйкесінше

$AMD$ және

$CMD$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері болсын.

$A{{O}_{1}}$ және

$C{{O}_{2}}$ түзулерінің өзара перпендикуляр екенін дәлелде.
комментарий/решение(3)

Есеп №6.

$1998\times 1998$ шақпақты тақтаны төрт шаршыдан құралған «Г» түріндегі плиткаларынен бір-бірімен қиылыспайтындай етіп толығымен жауып шығуға бола ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Бір тоқсанның әр күнінде (92 күн) авиакомпания он рейстен жасайды. Сонымен қатар әр ұшақ тәулігіне біреуден артық емес рейс жасаған. Кез келген екі күнді алсақ, осы екі күнде де ұшқан бір ұшақ бары анық. Олай болса, осы тоқсанның барлық күнінде де ұшқан ұшактың бар екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

${{n}^{2}}+{{m}^{3}}={{m}^{l}}$ теңдеуін қанағаттандыратын натурал

$m,n,l$ сандарының табылмайтынын дәлелде.
комментарий/решение(4)