Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып

Дұрыс $ABC$ үшбұрышының ішінде $M$ нүктесі орналасқан. $AC$ мен $BM$ түзулері $K$ нүктесінде қиылыссын. Егер $\angle AMB=30{}^\circ$ және $MKC$ мен $MCB$ үшбұрыштары ұқсас екені белгілі болса, $MAB$ және $MCB$ бұрыштарын тап.

Комментарий/решение

.

.

Жауабы: $\angle MAB=130°$, $\angle MCB=100°$

$\angle ACB=2\angle AMB$ болғандықтан $\triangle MAB$ үшбұрышы центрі $C$-болатын шеңберге іштей сызылған, ал $AC=BC$ шеңбер радиустары болады.

$\triangle MKC$ және $\triangle MCB$ ұқсас болғандықтан $\angle MCK=\angle MBC=y°$

Ал $\angle ABM=\frac{\angle ACM}{2}=\frac{y°}{2}$

$$\angle ABC=\angle ABM+\angle MBC$$

$$60°=\frac{y°}{2}+y°$$

$$y°=40°$$

$$\angle MCB=\angle MCK+\angle KCM=40°+60°=100°$$

Енді $BM$ доғасынан $A$ нүктесі тиісті емес бөлігінен $D$ нүктесін аламыз. Сонда

$$\angle MDB=\frac{\angle MCB}{2}=50°$$

$A, B, D, M$ бір шеңберге тиісті. Сол себепті $ABDM$ төртбұрышы шеңберге іштей сызылған.

$\angle MAB=180°-50°=130°$