Областная олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

В левом нижнем квадрате $19 \times 19$ доски $98 \times 99$ стоит 361 белая шашка, а в правом верхнем квадрате $19 \times 19$ той же доски стоит 361 черная шашка. За один ход разрешается переставить любую шашку на симметричное ей относительно любой другой шашки поле, если это поле свободно. Можно ли за конечное число ходов поменять местами черные шашки с белыми?

Комментарий/решение

Используем раскраску на рисунке.Заметим,что шашка стоящяя на черной клетке может попасть лищь на черную клетку,анологично с шашкой на белой клетке.Тогда если левый нижний квадрат черный ,то правый верхнии будет белым.Заметим ,что влевом нижнем квадрате 19x19 100 черных клеток а вправом вверхнем квадрате 90 черных.Очевидно,что хотя бы 10 шашок не смогут из левого нижнего кватрата попасть в правый вверхний.

Можно поступить и проще, а именно использовать обычную шахматную раскраску (в приведенном решении картинка слишком маленькая чтобы разглядеть, но судя по числам, которые приведены в подсчетах, там раскраска какая-то другая). В общем при обычной шахматной снова любая фишка попадает только на фишку своего цвета, при этом в одном из рассматриваемых углов $19\times 19$ будут черные углы, а в в другом -- белые, то есть, соответственно в одном из углов 180 белых и 181 черная клетка, а в другом -- наоборот 180 черных и 181 белая. Отсюда видим, что приведенная перестановка невозможна.