Областная олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

В левом нижнем квадрате $19 \times 19$ доски $98 \times 99$ стоит 361 белая шашка, а в правом верхнем квадрате $19 \times 19$ той же доски стоит 361 черная шашка. За один ход разрешается переставить любую шашку на симметричное ей относительно любой другой шашки поле, если это поле свободно. Можно ли за конечное число ходов поменять местами черные шашки с белыми?

Комментарий/решение

Используем раскраску на рисунке.Заметим,что шашка стоящяя на черной клетке может попасть лищь на черную клетку,анологично с шашкой на белой клетке.Тогда если левый нижний квадрат черный ,то правый верхнии будет белым.Заметим ,что влевом нижнем квадрате 19x19 100 черных клеток а вправом вверхнем квадрате 90 черных.Очевидно,что хотя бы 10 шашок не смогут из левого нижнего кватрата попасть в правый вверхний.