Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып

$98\times 99$ шақпақты тақтаның сол жақ төменгі бұрышында тұрған $19\times 19$ шаршыларда 361 ақ дойбылар, ал оң жақ жоғарғы бұрышына тұрған $19\times 19$ шаршыларда 361 қара дойбылар тұр. Бір жүрісте кез келген дойбыны келесі бір дойбыға карағанда симметриялы көшіруге болады (егер ол шаршы бос болса). Санаулы жүрістерден кейін қара мен ақ дойбылардың орындарымен ауыстыруға бола ма?

Комментарий/решение

Используем раскраску на рисунке.Заметим,что шашка стоящяя на черной клетке может попасть лищь на черную клетку,анологично с шашкой на белой клетке.Тогда если левый нижний квадрат черный ,то правый верхнии будет белым.Заметим ,что влевом нижнем квадрате 19x19 100 черных клеток а вправом вверхнем квадрате 90 черных.Очевидно,что хотя бы 10 шашок не смогут из левого нижнего кватрата попасть в правый вверхний.

Можно поступить и проще, а именно использовать обычную шахматную раскраску (в приведенном решении картинка слишком маленькая чтобы разглядеть, но судя по числам, которые приведены в подсчетах, там раскраска какая-то другая). В общем при обычной шахматной снова любая фишка попадает только на фишку своего цвета, при этом в одном из рассматриваемых углов $19\times 19$ будут черные углы, а в в другом -- белые, то есть, соответственно в одном из углов 180 белых и 181 черная клетка, а в другом -- наоборот 180 черных и 181 белая. Отсюда видим, что приведенная перестановка невозможна.