Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып

$98\times 99$ шақпақты тақтаның сол жақ төменгі бұрышында тұрған $19\times 19$ шаршыларда 361 ақ дойбылар, ал оң жақ жоғарғы бұрышына тұрған $19\times 19$ шаршыларда 361 қара дойбылар тұр. Бір жүрісте кез келген дойбыны келесі бір дойбыға карағанда симметриялы көшіруге болады (егер ол шаршы бос болса). Санаулы жүрістерден кейін қара мен ақ дойбылардың орындарымен ауыстыруға бола ма?

Комментарий/решение

Используем раскраску на рисунке.Заметим,что шашка стоящяя на черной клетке может попасть лищь на черную клетку,анологично с шашкой на белой клетке.Тогда если левый нижний квадрат черный ,то правый верхнии будет белым.Заметим ,что влевом нижнем квадрате 19x19 100 черных клеток а вправом вверхнем квадрате 90 черных.Очевидно,что хотя бы 10 шашок не смогут из левого нижнего кватрата попасть в правый вверхний.