Областная олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс
Комментарий/решение:
n2=ml-m3
n2=m3(ml/m3-1) где ml/m3=mk
n2=m3(mk-1)
n2=m3b
b делится на m, так как иначе n2≠m3(mk-1) (m нужно возвести в четную степень). Но b=(mk-1) никак не делится на m. Только при m=1. Тогда n=0, а n у нас натуральное число.Противоречие.
Выше указано правильное решение задачи. Спасибо за замечание, Абен..
Предположим что существуют такие натуральные l,m,n, что n2+m3=ml. Пусть k=l−3. Так как n натуральное, то k также натуральное. Тогда n2=m3(mk−1). Так как k>0, то НОД(m3,mk−1)=1, значит m3 и mk−1 оба являются полными квадратами (очевидно). Тогда m является полным квадратом (также очевидно), следовательно, любая натуральная степень m будет полным квадратом. Но это значит, что два последовательных числа mk−1 и mk являются точными квадратами, а такое возможно только если mk−1=0, но в этом случае n=0 − противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.