Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс


Докажите, что не существует натуральных чисел l, m, n, удовлетворяющих уравнению: n2+m3=ml.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   0
6 года 2 месяца назад #

n2=ml-m3

n2=m3(ml/m3-1) где ml/m3=mk

n2=m3(mk-1)

n2=m3b

b делится на m, так как иначе n2m3(mk-1) (m нужно возвести в четную степень). Но b=(mk-1) никак не делится на m. Только при m=1. Тогда n=0, а n у нас натуральное число.Противоречие.

  0
6 года 2 месяца назад #

Почему n2=m2b? Да, n2 делится на m3, может быть n2=m3b. Но тогда твое решение не правильно.

пред. Правка 2   -2
6 года 2 месяца назад #

Выше указано правильное решение задачи. Спасибо за замечание, Абен..

пред. Правка 2   -1
6 года 2 месяца назад #

Предположим что существуют такие натуральные l,m,n, что n2+m3=ml. Пусть k=l3. Так как n натуральное, то k также натуральное. Тогда n2=m3(mk1). Так как k>0, то НОД(m3,mk1)=1, значит m3 и mk1 оба являются полными квадратами (очевидно). Тогда m является полным квадратом (также очевидно), следовательно, любая натуральная степень m будет полным квадратом. Но это значит, что два последовательных числа mk1 и mk являются точными квадратами, а такое возможно только если mk1=0, но в этом случае n=0 противоречие.