Областная олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

Докажите, что значение выражения $(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{12}^2 )a_1^2 a_2^2 \dots a_{12}^2$ делится на 12 при любых целых $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{12}$.

Комментарий/решение

Обозначим данное выражение через $A$.

Если хотя бы одно из чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{12}$ четно, то число $A$ делится на 4.

Если все $a_1, a_2, \ldots, a_{12}$ нечетны, то сумма $(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{12}^2 )$ делится на 4, так как квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 4.

Если хотя бы одно из чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{12}$ делится на 3, то число $A$ делится на 3. Если ни одно из чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{12}$ не делится на 3, то квадрат каждого из них дает остаток 1 при делении на 3, то есть сумма $(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{12}^2 )$ делится на 3.

Получается, что при любом раскладе число $A$ делится на 4 и на 3, то есть оно делится на и на 12.