Loading [MathJax]/jax/output/SVG/fonts/TeX/fontdata.js

Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып


Кез келген бүтін a1, a2, , a12 сандар үшін (a21+a22++a212)a21a22a212 санының 12-ге бөлінетінін деледе.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4 | Модератормен тексерілді
8 года 4 месяца назад #

Обозначим данное выражение через A.

Если хотя бы одно из чисел a1,a2,,a12 четно, то число A делится на 4.

Если все a1,a2,,a12 нечетны, то сумма (a21+a22++a212) делится на 4, так как квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 4.

Если хотя бы одно из чисел a1,a2,,a12 делится на 3, то число A делится на 3. Если ни одно из чисел a1,a2,,a12 не делится на 3, то квадрат каждого из них дает остаток 1 при делении на 3, то есть сумма (a21+a22++a212) делится на 3.

Получается, что при любом раскладе число A делится на 4 и на 3, то есть оно делится на и на 12.