Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып
Кез келген бүтін a1, a2, …, a12 сандар үшін (a21+a22+…+a212)a21a22…a212 санының 12-ге бөлінетінін деледе.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Обозначим данное выражение через A.
Если хотя бы одно из чисел a1,a2,…,a12 четно, то число A делится на 4.
Если все a1,a2,…,a12 нечетны, то сумма (a21+a22+⋯+a212) делится на 4, так как квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 4.
Если хотя бы одно из чисел a1,a2,…,a12 делится на 3, то число A делится на 3. Если ни одно из чисел a1,a2,…,a12 не делится на 3, то квадрат каждого из них дает остаток 1 при делении на 3, то есть сумма (a21+a22+⋯+a212) делится на 3.
Получается, что при любом раскладе число A делится на 4 и на 3, то есть оно делится на и на 12.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.