58-я Международная Математическая Oлимпиада
Румыния, Клуж-Напока, 2018 год

Есеп №1. $ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышына сырттай сызылған шеңбері $\Gamma$ болсын. $AD=AE$ болатындай $AB$ мен $AC$ кесінділерінде сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелері белгіленген. $BD$ мен $CE$-нің ортақ перпендикулярлары $\Gamma$ шеңберінің $AB$ мен $AC$ кіші доғаларын сәйкесінше $F$ және $G$ нүктелерінде қияды. $DE$ мен $FG$ параллель (немесе бірдей болатын) екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық бүтін $n > 3$ сандарын табыңыз: $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$, және $i=1,2,\ldots,n$ үшін $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}$ болатын $a_1$, $a_2$,$\ldots$, $a_{n+2}$ нақты сандары табылады.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $\textit{Anti-Pascal үшбұрышы}$ ол келесі ереже бойынша сандардан құралған теңбүйірлі үшбұрышты орналастыру: төменгі қатардың сандарынан басқа, әрбір сан дереу төмен тұрған екі санның айырмасының модуліне тең. Мысалы, төрт қатардан тұратын және 1-ден 10-ға дейін барлық бүтін сандар кездесетін осындай anti-Pascal үшбұрышы келтірілген: $$\begin{array}{ c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}} c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{4pt}}c } & & & 4 & & & \\ & & 2 & & 6 & & \\ & 5 & & 7 & & 1 & \\ 8 & & 3 & & 10 & & 9 \\ \end{array}$$ 2018 қатардан тұратын және 1-ден $1+2+\cdots+2018$ санға дейін барлық бүтін сандар кездесетіндей anti-Pascal үшбұрышы бар ма?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Егер $x$ және $y$ екеуі нақты оң және 20-дан кіші немесе тең болса, онда жазықтығының $(x,y)$ нүктесі $\textit{орын}$ деп болсын. \par Бастапқыда, 400 орнынан әрқайсысы бос. Аружан мен Берік осы орындарға кезек-кезекпен тастар қояды, және Аружан бірінші бастайды. Аружан өзінің әр кезекте жаңа бір қызыл тасты бос орынға салады бірақ қызыл тастардың кез келген екі орнының ара қашықтығы $\sqrt{5}$ тең емес болу қажет. Берік өзінің әр кезекте жаңа бір көк тасты бос орынға салады. (Көк тасы бар орны басқа орындардан ара қашықтығы кез келген болуы рұқсат). Егер бір ойыншының тасты қоюға мүмкіндігі жоқ болса, ойын тоқтайды. \par Берік көк тастарды қалай қойса да, Аружан $K$ қызыл тас салуға кепілі бар болатындай, ең үлкен $K$ санын табыңыз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. $a_1$, $a_2$,$\ldots$ нақты оң сандардан тұратын шексіз тізбегі болсын. Барлық $n\ge N$ үшін $$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}+\frac{a_{n}}{a_1}$$ саны бүтін болатындай, бүтін $N>1$ саны бар. Барлық $m\ge M$ үшін $a_{m}=a_{m+1}$ болатын $M$ бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6.  $AB\cdot CD=BC\cdot DA$ орындалатын $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілген. $\angle XAB=\angle XCD$ және $\angle XBC=\angle XDA$ болатын $ABCD$ ішінде $X$ нүктесі жатыр. $\angle BXA+\angle DXC=180^{\circ}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---