59-я Международная Математическая Oлимпиада Румыния, Клуж-Напока, 2018 год

Пусть $\Gamma$ — окружность, описанная около остроугольного треугольника $ABC$. Точки $D$ и $E$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно, причем $AD = AE.$ Серединные перпендикуляры к отрезкам $BD$ и $CE$ пересекают меньшие дуги $AB$ и $AC$ окружности $\Gamma$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что прямые $DE$ и $FG$ параллельны или совпадают.

Комментарий/решение

Пусть $FD$ и $GE$ пересекают окружность $\Gamma$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Тогда $\angle AXD=\angle ABF=\angle FDB=\angle ADX,$ то есть $AD=AX.$ Аналогично, $AE=AY.$ Значит, точки $D,E,X,Y$ лежат на одной окружности с центром $A$ и c радиусом $R=AD=AE.$

Теперь, из того, что $XYDE$-вписанный четырехугольник, следует, что $DE$ антипараллель $XY$. Также заметим что $XY$ антипараллельна $FG$, т.к. $XYFG$ - вписанный. Откуда прямые $DE$ и $FG$ (возможно совпадающие) параллельны.