59-я Международная Математическая Oлимпиада
Румыния, Клуж-Напока, 2018 год

Задача №1.  Пусть $\Gamma$ — окружность, описанная около остроугольного треугольника $ABC$. Точки $D$ и $E$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно, причем $AD = AE.$ Серединные перпендикуляры к отрезкам $BD$ и $CE$ пересекают меньшие дуги $AB$ и $AC$ окружности $\Gamma$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что прямые $DE$ и $FG$ параллельны или совпадают.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите все целые числа $n > 3,$ для которых существуют вещественные числа $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{n+2}$ такие, что $a_{n+1} = a_1$, $a_{n+2} = a_2$ и $a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2},$ при всех $i = 1, 2, \dots, n.$
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Антипаскалевым треугольником, назовём таблицу в виде равностороннего треугольника, заполненную числами так, что каждое число, кроме чисел, стоящих в нижней строке, равно модулю разности двух чисел, стоящих непосредственно под ним. Ниже приведён пример антипаскалева треугольника с четырьмя строками, в котором встречаются все целые числа от 1 до 10. $$\begin{array}{ c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}} c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{4pt}}c } & & & 4 & & & \\ & & 2 & & 6 & & \\ & 5 & & 7 & & 1 & \\ 8 & & 3 & & 10 & & 9 \\ \end{array}$$ Существует ли антипаскалев треугольник с 2018 строками, в котором встречаются все целые числа от 1 до $1 + 2 + 3 + \ldots + 2018$?
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  На координатной плоскости отмечены точки $(x, y)$ с целыми положительными координатами $x$ и $y$, не превосходящими 20.
Вначале все 400 отмеченных точек не заняты. Аня и Ваня делают ходы по очереди, Аня ходит первой. Своим ходом Аня кладёт в ещё не занятую отмеченную точку новый красный камень, причём расстояние между любыми двумя точками с красными камнями не должно равняться $\sqrt5.$ Ваня своим ходом кладёт в ещё не занятую отмеченную точку новый синий камень. (Точка с синим камнем может находиться на произвольном расстоянии от других занятых точек.) Игра останавливается, когда кто-то из игроков не может сделать ход.
Найдите наибольшее $K$, при котором Аня сможет разместить не менее чем $K$ красных камней независимо от действий Вани.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ — бесконечная последовательность целых положительных чисел. Предположим, что существует целое число $N > 1$ такое, что при всех $n \ge N$ число $\dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_3} + \cdots + \dfrac{a_{n-1}}{a_n} + \dfrac{a_n}{a_1}$ является целым. Докажите, что найдётся такое целое положительное $M$, что $a_m = a_{m+1}$ при всех $m > M.$
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ удовлетворяет условию $AB \cdot CD = BC \cdot DA.$ Точка $X$ внутри четырёхугольника $ABCD$ такова, что $\angle{XAB} = \angle{XCD}$ и $\angle{XBC} = \angle{XDA}$. Докажите, что $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^\circ$.
комментарий/решение(1)

---