58-я Международная Математическая Oлимпиада
Румыния, Клуж-Напока, 2018 год
Комментарий/решение:
Ответ: K=100.
Ясно, что условие равносильно с тем, что у нас есть доска 20×20 и красные камни не должны стоять на клетках "хода коня".
Стратегия Анны: Сделаем шахматную раскраску. Анна на каждом своем шагу будет ставить красный камень только на черные клетки. Никакие две черные клетки не связанны ходом коня, поэтому запрещенное расположение сохраняется.
В общем черных клеток 20⋅20÷2=200, причем Анна точно успеет занять хотя бы половину из них, то есть K≥200÷2=100.
Стратегия Ивана: Разделим искомую таблицу на куски 4×4. Сделаем следующую раскраску
(1234341221434321)
Мы получаем разбиение данной доски на 4 цикла ходов коня.
Если Анна поставит красный камень на цикл с номером i, то Иван поставит синий камень в противоположную клетку в цикле i. Тогда в каждом цикле будет максимум один красный камень, то есть в каждом куске будет максимум 4.
Кусков в общем 25, тогда K≤4⋅25=100.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.