58-я Международная Математическая Oлимпиада Румыния, Клуж-Напока, 2018 год

$a_1$, $a_2$,$\ldots$ нақты оң сандардан тұратын шексіз тізбегі болсын. Барлық $n\ge N$ үшін $$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}+\frac{a_{n}}{a_1}$$ саны бүтін болатындай, бүтін $N>1$ саны бар. Барлық $m\ge M$ үшін $a_{m}=a_{m+1}$ болатын $M$ бар екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

У нас есть это

$$\frac{a_n}{a_{n+1}}+\frac{a_{n+1}-a_n}{a_1} \in \mathbb{Z} \;\;\; \forall n \geq N \;\;\;\;\;\; (1)$$ Теперь пусть $m>n$ — целое число и

$$A=\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n}, \;\;\;\; B=\frac{a_n}{a_{n+1}}+\ldots +\frac{a_{m-1}}{a_m}$$ Тогда

$$B+\frac{a_m}{a_1}-\frac{a_n}{a_1}\in \mathbb{Z} \;\;\;\;(2)$$ Отбираем $(1)$ из $n$ до $m$ в сочетании с $(2)$ дает

$$\frac{a_m}{a_1} \in \mathbb{Z} \; \Rightarrow \frac{a_m}{a_{m+1}}\in \mathbb{Z} \;\;\; \forall m > n$$ Так что $a_{n+1}=ka_1,k\in \mathbb{Z}$. Но

$$\frac{a_n}{a_1}\left(1-\frac{1}{k} \right) \in \mathbb{Z}$$ Итак, либо $k=1$, что подразумевает $a_{n+1 }=a_1 \Rightarrow a_m=a_{m+1} \;\; \forall m\geq n+1$ или $a_1|a_n \Rightarrow a_{n+1}|a_n \;\; \forall n$. В любом случае мы закончили