59-я Международная Математическая Oлимпиада Румыния, Клуж-Напока, 2018 год

Пусть $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ — бесконечная последовательность целых положительных чисел. Предположим, что существует целое число $N > 1$ такое, что при всех $n \ge N$ число $\dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_3} + \cdots + \dfrac{a_{n-1}}{a_n} + \dfrac{a_n}{a_1}$ является целым. Докажите, что найдётся такое целое положительное $M$, что $a_m = a_{m+1}$ при всех $m > M.$

Комментарий/решение

У нас есть это

$$\frac{a_n}{a_{n+1}}+\frac{a_{n+1}-a_n}{a_1} \in \mathbb{Z} \;\;\; \forall n \geq N \;\;\;\;\;\; (1)$$Теперь пусть $m>n$ — целое число и

$$A=\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n}, \;\;\;\; B=\frac{a_n}{a_{n+1}}+\ldots +\frac{a_{m-1}}{a_m}$$Тогда

$$B+\frac{a_m}{a_1}-\frac{a_n}{a_1}\in \mathbb{Z} \;\;\;\;(2)$$Отбираем $(1)$ из $n$ до $m$ в сочетании с $(2)$ дает

$$\frac{a_m}{a_1} \in \mathbb{Z} \; \Rightarrow \frac{a_m}{a_{m+1}}\in \mathbb{Z} \;\;\; \forall m > n$$Так что $a_{n+1}=ka_1,k\in \mathbb{Z}$. Но

$$\frac{a_n}{a_1}\left(1-\frac{1}{k} \right) \in \mathbb{Z}$$Итак, либо $k=1$, что подразумевает $a_{n+1 }=a_1 \Rightarrow a_m=a_{m+1} \;\; \forall m\geq n+1$ или $a_1|a_n \Rightarrow a_{n+1}|a_n \;\; \forall n$. В любом случае мы закончили