59-я Международная Математическая Oлимпиада Румыния, Клуж-Напока, 2018 год

Найдите все целые числа $n > 3,$ для которых существуют вещественные числа $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{n+2}$ такие, что $a_{n+1} = a_1$, $a_{n+2} = a_2$ и $a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2},$ при всех $i = 1, 2, \dots, n.$

Комментарий/решение

Ответ: все $n$ делящиеся на $3$. $a_{i}\cdot a_{i+1}\cdot a_{i+2}+a_{i+2}=a_{i+2}^2, a_{i-1}\cdot a_{i} \cdot a_{i+1}+a_{i-1}=a_{i-1} \cdot a_{i+2}.$ Суммируя по всем $i, \sum \limits_{i=1}^{n}{a_i^2}=\sum \limits_{i=1}^{n}{a_i\cdot a_{i+3}},$. Откуда легко получить, что $a_{i}=a_{i+3}$. Если n не делиться на 3, следует, что ${a_1=a_2=...=a_{n}}$. Но у трехчлена $x^2-x+1$ нету корней вообще. Если n делиться на 3, заметим, достаточно привести пример для $n=3$ и "зациклить" последовательность: $a_1=2, a_2=-1, a_3=-1$ очевидно удовлетворяет условию задачи.