Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

58-я Международная Математическая Oлимпиада
Румыния, Клуж-Напока, 2018 год


Келесі шартты қанағаттандыратын барлық бүтін n>3 сандарын табыңыз: an+1=a1, an+2=a2, және i=1,2,,n үшін aiai+1+1=ai+2 болатын a1, a2,, an+2 нақты сандары табылады.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
6 года 8 месяца назад #

Ответ: все n делящиеся на 3. aiai+1ai+2+ai+2=a2i+2,ai1aiai+1+ai1=ai1ai+2. Суммируя по всем i,ni=1a2i=ni=1aiai+3,. Откуда легко получить, что ai=ai+3. Если n не делиться на 3, следует, что a1=a2=...=an. Но у трехчлена x2x+1 нету корней вообще. Если n делиться на 3, заметим, достаточно привести пример для n=3 и "зациклить" последовательность: a1=2,a2=1,a3=1 очевидно удовлетворяет условию задачи.