58-я Международная Математическая Oлимпиада
Румыния, Клуж-Напока, 2018 год
Келесі шартты қанағаттандыратын барлық бүтін n>3 сандарын табыңыз: an+1=a1, an+2=a2, және i=1,2,…,n үшін aiai+1+1=ai+2 болатын a1, a2,…, an+2 нақты сандары табылады.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: все n делящиеся на 3. ai⋅ai+1⋅ai+2+ai+2=a2i+2,ai−1⋅ai⋅ai+1+ai−1=ai−1⋅ai+2. Суммируя по всем i,n∑i=1a2i=n∑i=1ai⋅ai+3,. Откуда легко получить, что ai=ai+3. Если n не делиться на 3, следует, что a1=a2=...=an. Но у трехчлена x2−x+1 нету корней вообще. Если n делиться на 3, заметим, достаточно привести пример для n=3 и "зациклить" последовательность: a1=2,a2=−1,a3=−1 очевидно удовлетворяет условию задачи.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.