қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год
Есеп №1. Төмендегі суретте көрсетілген фигураны бірдей неше бөлікке бөлуге болады? Барлық мүмкін жағдайларды қарастырыңыз. (Егерде бір бөліктің біреуін екінші бөлікті айналдыру немесе бұру арқылы алуға болатын болса, ондай бөліктерді бірдей деп санаймыз. Фигураны тек кесте сызықтарының бойымен ғана қиюға болады.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $\{a_n\}$ сандар тізбегі келесі шартты қанағаттандырады: $a_1=1$ және барлық натурал $n \ge 1$ үшін
$ a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+3}+1.$
$a_{129}$ саны нешеге тең?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Егер қандай да бір $a$, $b$ және $c$ бүтін сандары үшін
$\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \dfrac{2c}{b+c}$
теңдігі орындалса, $bc$ көбейтіндісі бүтін санның квадраты болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $I$ нүктесі — іштей сызылған шеңбердің центрі. $AI$ және $BI$ сәулелерінде, алайда $AI$ және $BI$ кесінділерінде жатпайтын, $\angle ACA_1 = \angle BCB_1 = 90^\circ$ болатындай сәйкесінше $A_1$ және $B_1$ нүктелері алынған. $M$ нүктесі — $A_1B_1$ кесіндісінің ортасы болсын. $IM$ және $AB$ түзулері бір-біріне перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Теңдікті дәлелдеңіз: $\sum\limits_{n = 1}^{9999} {\dfrac{1}{{\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt[4]{n} + \sqrt[4]{{n + 1}}} \right)}} = 9} .$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Дәл 25-і бүтін толық квадрат болатындай 2018 қатар келген натурал сан бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Радиустары 3, 4 және 5-ке тең үш шоғырлас (центрлері ортақ) шеңберлер берілген. Радиусы 5-ке тең шеңбердің өзара қиылысатын $AB$ және $CD$ хордалары, сәйкесінше радиустары 3 және 4-ке тең шеңберлерді жанайды. $AC$ және $BD$ түзулері тік бұрыш жасап қиылысатын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $n$ адамнан құрылған топта, кез келген бос емес жиыннан құрылған ішкі жиын комиссия болып есептеледі. Әр комиссияда төрағаны келесі ережеге жүгіне отырып таңдау керек: егерде $C$ комиссиясы екі кіші комиссияға бөлінсе, онда $C$ комиссиясының төрағасы осы кіші комиссиялардың төрағаларының біреуі болуы керек. Төрағаларды неше тәсілмен таңдауға болады?
комментарий/решение
комментарий/решение