Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год

Докажите равенство $\sum\limits_{n = 1}^{9999} {\dfrac{1}{{\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt[4]{n} + \sqrt[4]{{n + 1}}} \right)}} = 9} .$

Комментарий/решение

$(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1})(\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}) = (\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = 1$

Значит $\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1})} = \sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}$

$\sum\limits_{n = 1}^{9999} \sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n} = (\sqrt[4]{2}-1) + (\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2})+...+\sqrt[4]{10^4}-\sqrt[4]{9999} = 10-1=9 $