Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год
ABC үшбұрышында I нүктесі — іштей сызылған шеңбердің центрі. AI және BI сәулелерінде, алайда AI және BI кесінділерінде жатпайтын, ∠ACA1=∠BCB1=90∘ болатындай сәйкесінше A1 және B1 нүктелері алынған. M нүктесі — A1B1 кесіндісінің ортасы болсын. IM және AB түзулері бір-біріне перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Из условия задачи выходит что треугольники A1IC, B1IC подобны.
Для решение задачи, достаточно показать что IC симедиана A1IB1, пусть S∈IC∩A1B1 тогда, если ∠A1IC=x, ∠B1IC=y получается:
A1SB1S=A1I⋅sin(x)B1I⋅sin(y) но из вышеописанного подобия: A1IB1I=sin(x)sin(y) то есть A1SB1S=A1I2B1I2 есть условие симедианы, откуда IM⊥AB
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.