Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год

В треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности. На лучах $AI$ и $BI$ за точку $I$ соответственно взяты точки $A_1$ и $B_1$ такие, что $\angle ACA_1 = \angle BCB_1 = 90^\circ.$ Пусть $M$ — середина отрезка $A_1B_1$. Докажите, что прямые $IM$ и $AB$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

Из условия задачи выходит что треугольники $A_1IC, \ B_1IC$ подобны.

Для решение задачи, достаточно показать что $IC$ симедиана $A_1IB_1$, пусть $S \in IC \cap A_1B_1$ тогда, если $\angle A_1IC=x, \ \angle B_1IC=y$ получается:

$$\dfrac{A_1S}{B_1S} = \dfrac{A_1I \cdot \sin(x)}{B_1I \cdot \sin(y)}$$ но из вышеописанного подобия: $$\dfrac{A_1I}{B_1I} = \dfrac{\sin(x)}{\sin(y)}$$ то есть $$\dfrac{A_1S}{B_1S} = \dfrac{A_1I^2}{B_1I^2}$$ есть условие симедианы, откуда $IM \perp AB$