Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год

Дана последовательность $\{a_n\}$, определенная следующим образом: $a_1=1$ и $a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+3}+1$ для всех натуральных $n \ge 1.$ Найдите $a_{129}$.

Комментарий/решение

$a_{n+1} = \sqrt{a^2_{n}-2a_{n}+3}+1=\sqrt{(a_{n}-1)^2+2}+1$

$(a_{n+1}-1)^2-(a^2_{n}-1) ^2=2$

Получаем арифметическую прогрессий где $x_{1}=1-1=0, \ d=2$

Значит $x_{129}=x_{1}+128d = 128 \cdot 2 = 256$

Откуда $a_{129}=\sqrt{256}+1=17$