Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2018 год

Есеп №1. Қорапта ақ және қызыл шарлар жатыр. Алмас қораптан бір шар алып, қораптағы қалған шарлардың 5/7-і ақ шар екенін айтты. Сосын алған шарды орнына салып қойды. Одан кейін Мадина қораптан бір шарды алды да, қорапта қалған шарлардың 12/17-і ақ екенін айтты. Қорапта ең басында қанша шар болды?
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Тақтада жеті бүтін сан жазылған. Кез келген алтауының қосындысы 5-ке бөлінетіні белгілі болса, осы сандардың әрқайсысының 5-ке бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Төмендегі суретте көрсетілген фигураны бірдей неше бөлікке бөлуге болады? Барлық мүмкін жағдайларды қарастырыңыз. (Егерде бір бөліктің біреуін екінші бөлікті айналдыру немесе бұру арқылы алуға болатын болса, ондай бөліктерді бірдей деп санаймыз. Фигураны тек кесте сызықтарының бойымен ғана қиюға болады.)

комментарий/решение(4)

Есеп №4. $ABCD$ дөңес төртбұрышында $\angle B =\angle C=90^\circ$, $AB=BC=2CD$ екені белгілі. $M$ нүктесі — $BC$ қабырғасының ортасы, ал $N$ — $AC$ және $BD$ кесінділерінің қиылысу нүктесі. $MN$ және $AD$ түзулері $90^\circ$ бұрышпен қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. Төмендегі суретте $a$ және $b$ параллель түзулерінде $A$ және $B$ нүктелері алынған. Бұрыш 1 бұрыш 2-ден екі есе кіші, ал бұрыш 3 бұрыш 4-тен екі есе кіші. $ACB$ бұрышы $ADB$ бұрышынан екі есе кіші екенін дәлелдеңіз.

комментарий/решение(3)

Есеп №6. Ағаштың бойымен тұрақты жылдамдықпен екі өрмекші өрмелеп бара жатыр. Үш сағат бұрын бірінші өрмекші екіншімен салыстырғанда жерден $2,\!5$ есе үлкен биіктікте болған. Ал екі сағат бұрын бірінші өрмекші екіншімен салыстырғанда жерден $1,\!5$ есе үлкен биіктікте болған. Дәл қазір екі өрмекші жерден бірдей биіктікте тұр. Неше сағаттан кейін екінші өрмекші біріншімен салыстырғанда жерден $1,\!5$ есе үлкен биіктікте болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Теңдеуді бүтін сандар жиынында шешіңіздер: $6x^2+3xy-13x-5y+29=0.$
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Шахмат тақтасында 25 ладья тұр. Осылардың ішінен ешбір екеуі бір қатарда немесе бір бағанда тұрмайтын 4 ладья таңдап алуға болатыны дәлелдеңіз.
комментарий/решение