Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2018 год

На доске написано семь целых чисел. Известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5.

Комментарий/решение

Жеті санның ішінен кез келген алты санның қосындысын жеті түрлі тәсілмен алуға болады. Және де бар мүмкін жағдайды жазып

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=5a$$

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_7=5b$$

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_6+x_7=5c$$

$$x_1+x_2+x_3+x_5+x_6+x_7=5d$$

$$x_1+x_2+x_4+x_5+x_6+x_7=5e$$

$$x_1+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=5f$$

$$x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=5g$$

Сонда

$6(x_1+x_2+...+x_7)=5k$ $(1)$

теңдігін аламыз. Мұндағы $k=a+b+c+d+e+f+g$. Шарт бойынша $ x_1+x_2+...+x_6=5a$ шартын және $(1)$ теңдігін ескеріп $x_7$-нің 5-ке бөлінетіндігі шығады. Дәл солай $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$-лардың да бөлінетіндігі шығады. Д.К.О.

Ответ: Да, делится.

Есть два варинанта, сумма всех 7 чисел, обозначим ее как S(x), кратна 5 или же не кратна 5.

Допустим, S(x) кратна 5, также сумма любых шести из семи чисел кратна 5. То если отнимать каждую сумму из 6 чисел от S(x) которая кратна 5, выходит что и каждое число будет кратна 5.

Рассмотрим второй случай, S(x) не кратна 5, аналогично разобрали, выходит что каждое число имеет одинаковый остаток от S(x) по модулю 5, отметим остаток S(x) как число x. Так как каждая сумма 6 чисел по условию кратна 5 и также каждое число имеет одинаковый остаток от числа S(x), то 6x=0(mod 5), но это невозможно, потому что x не равен пяти, противоречие.