Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2018 год

Тақтада жеті бүтін сан жазылған. Кез келген алтауының қосындысы 5-ке бөлінетіні белгілі болса, осы сандардың әрқайсысының 5-ке бөлінетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Жеті санның ішінен кез келген алты санның қосындысын жеті түрлі тәсілмен алуға болады. Және де бар мүмкін жағдайды жазып

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=5a$$

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_7=5b$$

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_6+x_7=5c$$

$$x_1+x_2+x_3+x_5+x_6+x_7=5d$$

$$x_1+x_2+x_4+x_5+x_6+x_7=5e$$

$$x_1+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=5f$$

$$x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=5g$$

Сонда

$6(x_1+x_2+...+x_7)=5k$ $(1)$

теңдігін аламыз. Мұндағы $k=a+b+c+d+e+f+g$. Шарт бойынша $x_1+x_2+...+x_6=5a$ шартын және $(1)$ теңдігін ескеріп $x_7$-нің 5-ке бөлінетіндігі шығады. Дәл солай $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$-лардың да бөлінетіндігі шығады. Д.К.О.

Ответ: Да, делится.

Есть два варинанта, сумма всех 7 чисел, обозначим ее как S(x), кратна 5 или же не кратна 5.

Допустим, S(x) кратна 5, также сумма любых шести из семи чисел кратна 5. То если отнимать каждую сумму из 6 чисел от S(x) которая кратна 5, выходит что и каждое число будет кратна 5.

Рассмотрим второй случай, S(x) не кратна 5, аналогично разобрали, выходит что каждое число имеет одинаковый остаток от S(x) по модулю 5, отметим остаток S(x) как число x. Так как каждая сумма 6 чисел по условию кратна 5 и также каждое число имеет одинаковый остаток от числа S(x), то 6x=0(mod 5), но это невозможно, потому что x не равен пяти, противоречие.

Пусть у нас есть числа $$x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7$$

И возьмем случай где не взяли числа x1 и второй случай где не взят x2, следовательно так как x3,x4,x5,x6,x7 остались значит $$x1=x2 (mod 5)$$

Проводим эту операцию для всех остальных чисел. И получим что все равны по (mod 5) , значит $$x1+x2+x3+x4+x5+x6=6a=0(mod 5)$$

Значит a=0 ; 5 ; 10 значит остаток на 5 будет 0.

Значит мы доказали что $$x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=0 (mod 5)$$

Ответ : доказано

Забыл уточнить а- остаток каждого числа на 5