Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.  Докажите, что для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$, сумма квадратов которых равна 3, выполняется неравенство $5(a^4+b^4+c^4)+9\geq 8 (a^3+b^3+c^3).$
комментарий/решение(3)

---

Есеп №2.  Найти все пары натуральных чисел $(x,\ y)$ таких, что $2^x+3^y$ является точным квадратом.
комментарий/решение(5)

---

Есеп №3.  В треугольнике $ABC$ вневписанные окружности касаются сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_1,$ $A_1,$ $B_1$ соответственно. Точка $A'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $BB_1$ и $CC_1$. Точка $B'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AA_1$ и $CC_1.$ Точка $C'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AA_1$ и $BB_1.$ Точки $A',$ $B',$ $C'$ лежат внутри треугольника $ABC.$ Докажите, что прямые $AA',$ $BB',$ $CC'$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4.  Несколько аэропортов связаны двусторонними беспересадочными авиарейсами так, что из каждого аэропорта выходит не более 2018 рейсов. Докажите, что можно разделить все рейсы между 11 авиакомпаниями компаниями так, что рейсами любой из компаний нельзя совершить круговое путешествие по нечетному числу аэропортов.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5.  Найти все функции $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ удовлетворяющие при всех $x,y\in \mathbb{R}$ условию $f\left( xf(x)+f(y) \right)={{x}^{2}}+y.$
комментарий/решение(2)

---

Есеп №6.  Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точки ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ и ${{D}_{1}}$ выбраны соответственно на отрезках $AO,BO,CO$ и $DO$ так, что $A{{A}_{1}}=C{{C}_{1}}$, $B{{B}_{1}}=D{{D}_{1}}$. Пусть описанные окружности треугольников $AOD$ и $BOC$ второй раз пересекаются в точке $M$, описанные окружности треугольников $AOD$ и $BOC$ второй раз пересекаются в точке $N$, описанные окружности треугольников ${{A}_{1}}O{{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}O{{D}_{1}}$ второй раз пересекаются в точке $P$, описанные окружности треугольников ${{A}_{1}}O{{D}_{1}}$ и ${{B}_{1}}O{{C}_{1}}$ второй раз пересекаются в точке $Q$. Докажите, что точки $M,N,P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(4)

---