Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Ответ: $f(x)=x; f(x)=-x.$
Решение. Пусть $P(x,y)$ означает $f(xf(x)+f(y))=x^2+y.$
Рассмотрим подстановку $P(0,x)$. Получим $\forall x∈\mathbb{R}$
$$f(f(x))=x.$$
Отсюда следует, что функция $f$ сюръективна.
Допустим, что $f(a)=f(b),$ тогда $f(f(a))=f(f(b)) \Leftrightarrow a=b$. Значит, функция $f $ инъективна.
Сделаем подстановку $P(f(x),y)$. Тогда $\forall x,y∈\mathbb{R}$
$$f(f(x)x+f(y))=(f(x))^2+y.$$
Сравнивая последнее равенство с исходным, получим $\forall x,y∈\mathbb{R}$
$$x^2+y=(f(x))^2+y \Leftrightarrow x^2=(f(x))^2. $$
В частности, $(f(1))^2=1.$
Случай 1. Пусть $f(1)=1.$ После подстановки $P(1,x)$ имеем \forall x∈\mathbb{R}$
$$f(1+f(x))=1+x.$$
Далее, $\forall x∈\mathbb{R}$
$$1+2x+x^2=(1+x)^2=(f(1+f(x)))^2=(1+f(x))^2=1+2f(x)+(f(x))^2=1+2f(x)+x^2.$$
Из последнего равенства заключаем, что $\forall x∈\mathbb{R}$
$$f(x)=x.$$
Проверкой нетрудно убедиться, что функция $f(x)=x$ удовлетворяет условию задачи.
Случай 2. Пусть$ f(1)=-1$. Сделаем подстановку $P(1,x).$ Получим $\forall x∈\mathbb{R}$
$$f(-1+f(x))=1+x.$$
Далее,
$$1+2x+x^2=(1+x)^2=(f(-1+f(x)))^2=(-1+f(x))^2=1-2f(x)+(f(x))^2=1-2f(x)+x^2.$$
Отсюда заключаем, что $\forall x∈\mathbb{R}$
$$f(x)=-x.$$
Проверкой нетрудно убедиться, что функция $f(x)=-x$ также удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $f(x) = \pm x$
Обозначим $P(x,y)$ за подстановку: $f(xf(x)+f(y)) = x^2 + y$
$P(0,y): f(f(y)) = y \, (\forall y \in \mathbb{R}) \Leftrightarrow f \, - $ биективна.
$P(f(x),y): f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 + y = x^2 + y \Leftrightarrow f(x)^2 = x^2 \Leftrightarrow f(x) = \pm x$
Избавимся от случаев, когда существуют решения, когда знак f(x) является либо только плюсом, либо только минусом.
Пусть $a,b \in \mathbb{R}$, такие что их модули $> 0 $, и $f(a) = +a, f(b) = -b$.
$P(a,b): f(a^2 - b) = a^2 + b = \pm (a^2 - b)$, откуда либо $b = 0$, либо $a = 0$, что противоречит условиям выбора $a,b$.
Остается лишь заметить, что решение $f(x) = \pm x$ удовлетворяет заданной функции.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.